Theorem fleqceilz 11981

Description: A real number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fleqceilz

Proof of Theorem fleqceilz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flid 11945	. . 3
2		ceilid 11978	. . 3
3	1, 2	eqtr4d 2501	. 2
4		eqeq1 2461	. . . . . 6
5	4	adantr 465	. . . . 5
6		ceilidz 11979	. . . . . . . 8
7		eqcom 2466	. . . . . . . 8
8	6, 7	syl6bb 261	. . . . . . 7
9	8	biimprd 223	. . . . . 6
10	9	adantl 466	. . . . 5
11	5, 10	sylbid 215	. . . 4
12	11	ex 434	. . 3
13		flle 11936	. . . 4
14		df-ne 2654	. . . . 5
15		necom 2726	. . . . . 6
16		reflcl 11933	. . . . . . . . . 10
17		id 22	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	ltlend 9751	. . . . . . . . 9
19		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
21		ceilge 11973	. . . . . . . . . . . . . 14
22		ceilcl 11971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	22	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	17, 23	lenltd 9752	. . . . . . . . . . . . . . 15
25		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	24, 25	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . 14
27	21, 26	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
29	20, 28	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11
30	29	ex 434	. . . . . . . . . 10
31	30	com23 78	. . . . . . . . 9
32	18, 31	sylbird 235	. . . . . . . 8
33	32	expd 436	. . . . . . 7
34	33	com3r 79	. . . . . 6
35	15, 34	sylbi 195	. . . . 5
36	14, 35	sylbir 213	. . . 4
37	13, 36	mpdi 42	. . 3
38	12, 37	pm2.61i 164	. 2
39	3, 38	impbid2 204	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  cr 9512  clt 9649  cle 9650  cz 10889  cfl 11927  cceil 11928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929  df-ceil 11930