MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge Unicode version

Theorem flge 11942
Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
flge

Proof of Theorem flge
StepHypRef Expression
1 flltp1 11937 . . . . 5
21adantr 465 . . . 4
3 simpr 461 . . . . . 6
43zred 10994 . . . . 5
5 simpl 457 . . . . 5
65flcld 11935 . . . . . . 7
76peano2zd 10997 . . . . . 6
87zred 10994 . . . . 5
9 lelttr 9696 . . . . 5
104, 5, 8, 9syl3anc 1228 . . . 4
112, 10mpan2d 674 . . 3
12 zleltp1 10939 . . . 4
133, 6, 12syl2anc 661 . . 3
1411, 13sylibrd 234 . 2
15 flle 11936 . . . 4
1615adantr 465 . . 3
176zred 10994 . . . 4
18 letr 9699 . . . 4
194, 17, 5, 18syl3anc 1228 . . 3
2016, 19mpan2d 674 . 2
2114, 20impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cz 10889   cfl 11927
This theorem is referenced by:  fllt  11943  flid  11945  flwordi  11948  flval2  11950  flval3  11951  flge0nn0  11954  flge1nn  11955  flmulnn0  11960  btwnzge0  11961  fznnfl  11989  absrdbnd  13174  limsupgre  13304  climrlim2  13370  hashdvds  14305  prmreclem3  14436  ovolunlem1a  21907  mbfi1fseqlem4  22125  mbfi1fseqlem5  22126  dvfsumlem1  22427  dvfsumlem3  22429  ppisval  23377  dvdsflf1o  23463  ppiub  23479  chtub  23487  fsumvma2  23489  chpval2  23493  chpchtsum  23494  efexple  23556  bposlem3  23561  bposlem4  23562  bposlem5  23563  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  chebbnd1lem2  23655  chebbnd1lem3  23656  dchrisum0lem1  23701  pntrlog2bndlem6  23768  pntpbnd1  23771  pntpbnd2  23772  pntlemh  23784  pntlemj  23788  pntlemf  23790  isprm7  31192  dirkertrigeqlem3  31882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929
  Copyright terms: Public domain W3C validator