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Theorem fliftfun 6210
 Description: The function is the unique function defined by A= , provided that the well-definedness condition holds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
flift.1
flift.2
flift.3
fliftfun.4
fliftfun.5
Assertion
Ref Expression
fliftfun
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,S,

Proof of Theorem fliftfun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1707 . . 3
2 flift.1 . . . . 5
3 nfmpt1 4541 . . . . . 6
43nfrn 5250 . . . . 5
52, 4nfcxfr 2617 . . . 4
65nffun 5615 . . 3
7 fveq2 5871 . . . . . . 7
8 simplr 755 . . . . . . . . 9
9 flift.2 . . . . . . . . . . 11
10 flift.3 . . . . . . . . . . 11
112, 9, 10fliftel1 6208 . . . . . . . . . 10
1211ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9
13 funbrfv 5911 . . . . . . . . 9
148, 12, 13sylc 60 . . . . . . . 8
15 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
16 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11
17 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11
18 fliftfun.4 . . . . . . . . . . . . . 14
1918eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
20 fliftfun.5 . . . . . . . . . . . . . 14
2120eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
2219, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
2322rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
2415, 16, 17, 23syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10
252, 9, 10fliftel 6207 . . . . . . . . . . 11
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
2724, 26mpbird 232 . . . . . . . . 9
28 funbrfv 5911 . . . . . . . . 9
298, 27, 28sylc 60 . . . . . . . 8
3014, 29eqeq12d 2479 . . . . . . 7
317, 30syl5ib 219 . . . . . 6
3231anassrs 648 . . . . 5
3332ralrimiva 2871 . . . 4
3433exp31 604 . . 3
351, 6, 34ralrimd 2861 . 2
362, 9, 10fliftel 6207 . . . . . . . . 9
372, 9, 10fliftel 6207 . . . . . . . . . 10
3818eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12
3920eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
4140cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10
4237, 41syl6bb 261 . . . . . . . . 9
4336, 42anbi12d 710 . . . . . . . 8
4443biimpd 207 . . . . . . 7
45 reeanv 3025 . . . . . . . 8
46 r19.29 2992 . . . . . . . . . 10
47 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . 12
48 eqtr2 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049imim1i 58 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
52 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . 14
53 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14
5451, 52, 533eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13
5554rexlimivw 2946 . . . . . . . . . . . 12
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11
5756rexlimivw 2946 . . . . . . . . . 10
5846, 57syl 16 . . . . . . . . 9
5958ex 434 . . . . . . . 8
6045, 59syl5bir 218 . . . . . . 7
6144, 60syl9 71 . . . . . 6
6261alrimdv 1721 . . . . 5
6362alrimdv 1721 . . . 4
6463alrimdv 1721 . . 3
652, 9, 10fliftrel 6206 . . . . 5
66 relxp 5115 . . . . 5
67 relss 5095 . . . . 5
6865, 66, 67mpisyl 18 . . . 4
69 dffun2 5603 . . . . 5
7069baib 903 . . . 4
7168, 70syl 16 . . 3
7264, 71sylibrd 234 . 2
7335, 72impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  <.cop 4035   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  rancrn 5005  Relwrel 5009  Funwfun 5587  cfv 5593 This theorem is referenced by:  fliftfund  6211  fliftfuns  6212  qliftfun  7415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601
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