MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flval3 Unicode version

Theorem flval3 11951
Description: An alternate way to define the floor (greatest integer) function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
flval3
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem flval3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3584 . . . . 5
2 zssre 10896 . . . . 5
31, 2sstri 3512 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 flcl 11932 . . . . 5
6 flle 11936 . . . . 5
7 breq1 4455 . . . . . 6
87elrab 3257 . . . . 5
95, 6, 8sylanbrc 664 . . . 4
10 ne0i 3790 . . . 4
119, 10syl 16 . . 3
12 reflcl 11933 . . . 4
13 breq1 4455 . . . . . . 7
1413elrab 3257 . . . . . 6
15 flge 11942 . . . . . . . 8
1615biimpd 207 . . . . . . 7
1716expimpd 603 . . . . . 6
1814, 17syl5bi 217 . . . . 5
1918ralrimiv 2869 . . . 4
20 breq2 4456 . . . . . 6
2120ralbidv 2896 . . . . 5
2221rspcev 3210 . . . 4
2312, 19, 22syl2anc 661 . . 3
24 suprub 10529 . . 3
254, 11, 23, 9, 24syl31anc 1231 . 2
26 suprleub 10532 . . . 4
274, 11, 23, 12, 26syl31anc 1231 . . 3
2819, 27mpbird 232 . 2
29 suprcl 10528 . . . 4
304, 11, 23, 29syl3anc 1228 . . 3
3112, 30letri3d 9748 . 2
3225, 28, 31mpbir2and 922 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593  supcsup 7920   cr 9512   clt 9649   cle 9650   cz 10889   cfl 11927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929
  Copyright terms: Public domain W3C validator