Theorem fmpt2co 6883

Description: Composition of two functions. Variation of fmptco 6064 when the second function has two arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt2co.1
fmpt2co.2
fmpt2co.3
fmpt2co.4

Assertion

Ref	Expression
fmpt2co

Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,S,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem fmpt2co

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt2co.1	. . . . . 6
2	1	ralrimivva 2878	. . . . 5
3		eqid 2457	. . . . . 6
4	3	fmpt2 6867	. . . . 5
5	2, 4	sylib 196	. . . 4
6		nfcv 2619	. . . . . . 7
7		nfcv 2619	. . . . . . 7
8		nfcv 2619	. . . . . . . 8
9		nfcsb1v 3450	. . . . . . . 8
10	8, 9	nfcsb 3452	. . . . . . 7
11		nfcsb1v 3450	. . . . . . 7
12		csbeq1a 3443	. . . . . . . 8
13		csbeq1a 3443	. . . . . . . 8
14	12, 13	sylan9eq 2518	. . . . . . 7
15	6, 7, 10, 11, 14	cbvmpt2 6376	. . . . . 6
16		vex 3112	. . . . . . . . . 10
17		vex 3112	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	op2ndd 6811	. . . . . . . . 9
19	18	csbeq1d 3441	. . . . . . . 8
20	16, 17	op1std 6810	. . . . . . . . . 10
21	20	csbeq1d 3441	. . . . . . . . 9
22	21	csbeq2dv 3835	. . . . . . . 8
23	19, 22	eqtrd 2498	. . . . . . 7
24	23	mpt2mpt 6394	. . . . . 6
25	15, 24	eqtr4i 2489	. . . . 5
26	25	fmpt 6052	. . . 4
27	5, 26	sylibr 212	. . 3
28		fmpt2co.2	. . . 4
29	28, 25	syl6eq 2514	. . 3
30		fmpt2co.3	. . 3
31	27, 29, 30	fmptcos 6066	. 2
32	23	csbeq1d 3441	. . . . 5
33	32	mpt2mpt 6394	. . . 4
34		nfcv 2619	. . . . 5
35		nfcv 2619	. . . . 5
36		nfcv 2619	. . . . . 6
37	10, 36	nfcsb 3452	. . . . 5
38		nfcv 2619	. . . . . 6
39	11, 38	nfcsb 3452	. . . . 5
40	14	csbeq1d 3441	. . . . 5
41	34, 35, 37, 39, 40	cbvmpt2 6376	. . . 4
42	33, 41	eqtr4i 2489	. . 3
43	1	3impb 1192	. . . . 5
44		nfcvd 2620	. . . . . 6
45		fmpt2co.4	. . . . . 6
46	44, 45	csbiegf 3458	. . . . 5
47	43, 46	syl 16	. . . 4
48	47	mpt2eq3dva 6361	. . 3
49	42, 48	syl5eq 2510	. 2
50	31, 49	eqtrd 2498	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  <.cop 4035  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  o.ccom 5008  -->wf 5589  `cfv 5593  e.cmpt2 6298  c1st 6798  c2nd 6799

This theorem is referenced by:  oprabco  6884  evlslem2  18180  txswaphmeolem  20305  xpstopnlem1  20310  stdbdxmet  21018  rrxds  21825  cnre2csqima  27893  cvmlift2lem7  28754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801