Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmpt2co Unicode version

Theorem fmpt2co 6883
 Description: Composition of two functions. Variation of fmptco 6064 when the second function has two arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmpt2co.1
fmpt2co.2
fmpt2co.3
fmpt2co.4
Assertion
Ref Expression
fmpt2co
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,S,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem fmpt2co
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmpt2co.1 . . . . . 6
21ralrimivva 2878 . . . . 5
3 eqid 2457 . . . . . 6
43fmpt2 6867 . . . . 5
52, 4sylib 196 . . . 4
6 nfcv 2619 . . . . . . 7
7 nfcv 2619 . . . . . . 7
8 nfcv 2619 . . . . . . . 8
9 nfcsb1v 3450 . . . . . . . 8
108, 9nfcsb 3452 . . . . . . 7
11 nfcsb1v 3450 . . . . . . 7
12 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
13 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
1412, 13sylan9eq 2518 . . . . . . 7
156, 7, 10, 11, 14cbvmpt2 6376 . . . . . 6
16 vex 3112 . . . . . . . . . 10
17 vex 3112 . . . . . . . . . 10
1816, 17op2ndd 6811 . . . . . . . . 9
1918csbeq1d 3441 . . . . . . . 8
2016, 17op1std 6810 . . . . . . . . . 10
2120csbeq1d 3441 . . . . . . . . 9
2221csbeq2dv 3835 . . . . . . . 8
2319, 22eqtrd 2498 . . . . . . 7
2423mpt2mpt 6394 . . . . . 6
2515, 24eqtr4i 2489 . . . . 5
2625fmpt 6052 . . . 4
275, 26sylibr 212 . . 3
28 fmpt2co.2 . . . 4
2928, 25syl6eq 2514 . . 3
30 fmpt2co.3 . . 3
3127, 29, 30fmptcos 6066 . 2
3223csbeq1d 3441 . . . . 5
3332mpt2mpt 6394 . . . 4
34 nfcv 2619 . . . . 5
35 nfcv 2619 . . . . 5
36 nfcv 2619 . . . . . 6
3710, 36nfcsb 3452 . . . . 5
38 nfcv 2619 . . . . . 6
3911, 38nfcsb 3452 . . . . 5
4014csbeq1d 3441 . . . . 5
4134, 35, 37, 39, 40cbvmpt2 6376 . . . 4
4233, 41eqtr4i 2489 . . 3
4313impb 1192 . . . . 5
44 nfcvd 2620 . . . . . 6
45 fmpt2co.4 . . . . . 6
4644, 45csbiegf 3458 . . . . 5
4743, 46syl 16 . . . 4
4847mpt2eq3dva 6361 . . 3
4942, 48syl5eq 2510 . 2
5031, 49eqtrd 2498 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  <.cop 4035  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  o.ccom 5008  -->wf 5589  cfv 5593  e.`cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799 This theorem is referenced by:  oprabco  6884  evlslem2  18180  txswaphmeolem  20305  xpstopnlem1  20310  stdbdxmet  21018  rrxds  21825  cnre2csqima  27893  cvmlift2lem7  28754 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801
 Copyright terms: Public domain W3C validator