MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmptsnd Unicode version

Theorem fmptsnd 6093
Description: Express a singleton function in maps-to notation. Deduction form of fmptsng 6092. (Contributed by AV, 4-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptsnd.1
fmptsnd.2
fmptsnd.3
Assertion
Ref Expression
fmptsnd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fmptsnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elsn 4043 . . . . 5
21bicomi 202 . . . 4
32anbi1i 695 . . 3
43opabbii 4516 . 2
5 elsn 4043 . . . . 5
6 eqidd 2458 . . . . . . . 8
7 eqidd 2458 . . . . . . . 8
8 sbcan 3370 . . . . . . . . . . 11
9 fmptsnd.3 . . . . . . . . . . . . 13
10 sbcg 3401 . . . . . . . . . . . . 13
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12
12 eqsbc3 3367 . . . . . . . . . . . . 13
139, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1411, 13anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
158, 14syl5bb 257 . . . . . . . . . 10
1615sbcbidv 3386 . . . . . . . . 9
17 fmptsnd.2 . . . . . . . . . 10
18 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . 12
1918adantl 466 . . . . . . . . . . 11
20 fmptsnd.1 . . . . . . . . . . . 12
2120eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
2219, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
2317, 22sbcied 3364 . . . . . . . . 9
2416, 23bitrd 253 . . . . . . . 8
256, 7, 24mpbir2and 922 . . . . . . 7
26 opelopabsb 4762 . . . . . . 7
2725, 26sylibr 212 . . . . . 6
28 eleq1 2529 . . . . . 6
2927, 28syl5ibrcom 222 . . . . 5
305, 29syl5bi 217 . . . 4
31 elopab 4760 . . . . 5
32 opeq12 4219 . . . . . . . . . . . 12
3332adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3433eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
3520adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
3635opeq2d 4224 . . . . . . . . . . . 12
37 opex 4716 . . . . . . . . . . . . 13
3837snid 4057 . . . . . . . . . . . 12
3936, 38syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . 11
40 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
4139, 40syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10
4234, 41sylbid 215 . . . . . . . . 9
4342ex 434 . . . . . . . 8
4443com23 78 . . . . . . 7
4544impd 431 . . . . . 6
4645exlimdvv 1725 . . . . 5
4731, 46syl5bi 217 . . . 4
4830, 47impbid 191 . . 3
4948eqrdv 2454 . 2
50 df-mpt 4512 . . 3
5150a1i 11 . 2
524, 49, 513eqtr4a 2524 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  [.wsbc 3327  {csn 4029  <.cop 4035  {copab 4509  e.cmpt 4510
This theorem is referenced by:  fmptapd  6095  fmptpr  6096  mpt2sn  6891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-opab 4511  df-mpt 4512
  Copyright terms: Public domain W3C validator