MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fn0 Unicode version

Theorem fn0 5705
Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by NM, 15-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fn0

Proof of Theorem fn0
StepHypRef Expression
1 fnrel 5684 . . 3
2 fndm 5685 . . 3
3 reldm0 5225 . . . 4
43biimpar 485 . . 3
51, 2, 4syl2anc 661 . 2
6 fun0 5650 . . . 4
7 dm0 5221 . . . 4
8 df-fn 5596 . . . 4
96, 7, 8mpbir2an 920 . . 3
10 fneq1 5674 . . 3
119, 10mpbiri 233 . 2
125, 11impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395   c0 3784  domcdm 5004  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588
This theorem is referenced by:  mpt0  5713  f0  5771  f00  5772  f0bi  5773  f1o00  5853  fo00  5854  fconstfvOLD  6134  tpos0  7004  ixp0x  7517  0fz1  11734  hashf1  12506  fuchom  15330  grpinvfvi  16091  mulgfval  16143  mulgfvi  16146  symgplusg  16414  0frgp  16797  invrfval  17322  psrvscafval  18043  tmdgsum  20594  deg1fvi  22485  hon0  26712  fnchoice  31404  dvnprodlem3  31745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-fun 5595  df-fn 5596
  Copyright terms: Public domain W3C validator