Theorem fnasrn 6077

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfmpt.1

Assertion

Ref	Expression
fnasrn

Proof of Theorem fnasrn

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt.1	. . 3
2	1	dfmpt 6076	. 2
3		eqid 2457	. . . . 5
4	3	rnmpt 5253	. . . 4
5		elsn 4043	. . . . . 6
6	5	rexbii 2959	. . . . 5
7	6	abbii 2591	. . . 4
8	4, 7	eqtr4i 2489	. . 3
9		df-iun 4332	. . 3
10	8, 9	eqtr4i 2489	. 2
11	2, 10	eqtr4i 2489	1

Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808  cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  e.cmpt 4510  rancrn 5005

This theorem is referenced by:  resfunexg  6137  idref  6153  gruf  9210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600