Theorem fnbrfvb 5913

Description: Equivalence of function value and binary relation. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnbrfvb

Proof of Theorem fnbrfvb

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . 4
2		fvex 5881	. . . . 5
3		eqeq2 2472	. . . . . . 7
4		breq2 4456	. . . . . . 7
5	3, 4	bibi12d 321	. . . . . 6
6	5	imbi2d 316	. . . . 5
7		fneu 5690	. . . . . 6
8		tz6.12c 5890	. . . . . 6
9	7, 8	syl 16	. . . . 5
10	2, 6, 9	vtocl 3161	. . . 4
11	1, 10	mpbii 211	. . 3
12		breq2 4456	. . 3
13	11, 12	syl5ibcom 220	. 2
14		fnfun 5683	. . . 4
15		funbrfv 5911	. . . 4
16	14, 15	syl 16	. . 3
17	16	adantr 465	. 2
18	13, 17	impbid 191	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!weu 2282   class class class wbr 4452  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  fnopfvb  5914  funbrfvb  5915  dffn5  5918  fnsnfv  5933  fndmdif  5991  dffo4  6047  dff13  6166  isomin  6233  isoini  6234  1stconst  6888  2ndconst  6889  fsplit  6905  seqomlem3  7136  seqomlem4  7137  nqerrel  9331  imasleval  14938  znleval  18593  axcontlem5  24271  elnlfn  26847  adjbd1o  27004  fcoinvbr  27461  feqmptdf  27501  br1steq  29204  br2ndeq  29205  trpredpred  29311  fvbigcup  29552  fvsingle  29570  imageval  29580  brfullfun  29598  pw2f1ocnv  30979  funressnfv  32213  fnbrafvb  32239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601