Theorem fndmdif 5991

Description: Two ways to express the locus of differences between two functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fndmdif

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fndmdif

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3630	. . . . 5
2		dmss 5207	. . . . 5
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4
4		fndm 5685	. . . . 5
5	4	adantr 465	. . . 4
6	3, 5	syl5sseq 3551	. . 3
7		dfss1 3702	. . 3
8	6, 7	sylib 196	. 2
9		vex 3112	. . . . 5
10	9	eldm 5205	. . . 4
11		eqcom 2466	. . . . . . . . 9
12		fnbrfvb 5913	. . . . . . . . 9
13	11, 12	syl5bb 257	. . . . . . . 8
14	13	adantll 713	. . . . . . 7
15	14	necon3abid 2703	. . . . . 6
16		fvex 5881	. . . . . . 7
17		breq2 4456	. . . . . . . 8
18	17	notbid 294	. . . . . . 7
19	16, 18	ceqsexv 3146	. . . . . 6
20	15, 19	syl6bbr 263	. . . . 5
21		eqcom 2466	. . . . . . . . . 10
22		fnbrfvb 5913	. . . . . . . . . 10
23	21, 22	syl5bb 257	. . . . . . . . 9
24	23	adantlr 714	. . . . . . . 8
25	24	anbi1d 704	. . . . . . 7
26		brdif 4502	. . . . . . 7
27	25, 26	syl6bbr 263	. . . . . 6
28	27	exbidv 1714	. . . . 5
29	20, 28	bitr2d 254	. . . 4
30	10, 29	syl5bb 257	. . 3
31	30	rabbi2dva 3705	. 2
32	8, 31	eqtr3d 2500	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  fndmdifcom  5992  fndmdifeq0  5993  fndifnfp  6100  wemapsolem  7996  wemapso2OLD  7998  wemapso2lem  7999  dsmmbas2  18768  frlmbas  18786  frlmbasOLD  18787  ptcmplem2  20553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601