MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnex Unicode version

Theorem fnex 6139
Description: If the domain of a function is a set, the function is a set. Theorem 6.16(1) of [TakeutiZaring] p. 28. This theorem is derived using the Axiom of Replacement in the form of resfunexg 6137. See fnexALT 6766 for alternate proof. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fnex

Proof of Theorem fnex
StepHypRef Expression
1 fnrel 5684 . . 3
21adantr 465 . 2
3 df-fn 5596 . . 3
4 eleq1a 2540 . . . . . 6
54impcom 430 . . . . 5
6 resfunexg 6137 . . . . 5
75, 6sylan2 474 . . . 4
87anassrs 648 . . 3
93, 8sylanb 472 . 2
10 resdm 5320 . . . 4
1110eleq1d 2526 . . 3
1211biimpa 484 . 2
132, 9, 12syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588
This theorem is referenced by:  funex  6140  fex  6145  offval  6547  ofrfval  6548  suppvalfn  6925  suppfnss  6944  fnsuppeq0  6947  fndmeng  7612  fdmfifsupp  7859  cfsmolem  8671  axcc2lem  8837  unirnfdomd  8963  prdsbas2  14866  prdsplusgval  14870  prdsmulrval  14872  prdsleval  14874  prdsdsval  14875  prdsvscaval  14876  brssc  15183  sscpwex  15184  ssclem  15188  isssc  15189  rescval2  15197  reschom  15199  rescabs  15202  isfuncd  15234  dprdw  17043  dprdwOLD  17050  prdsmgp  17259  dsmmbas2  18768  dsmmelbas  18770  ptval  20071  elptr  20074  prdstopn  20129  qtoptop  20201  imastopn  20221  vdgrfval  24895  suppss3  27550  ofcfval  28097  dya2iocuni  28254  trpredex  29320  wfrlem15  29357  stoweidlem27  31809  stoweidlem59  31841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator