Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnfi Unicode version

Theorem fnfi 7818
 Description: A version of fnex 6139 for finite sets that does not require Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnfi

Proof of Theorem fnfi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnresdm 5695 . . 3
3 reseq2 5273 . . . . . 6
43eleq1d 2526 . . . . 5
54imbi2d 316 . . . 4
6 reseq2 5273 . . . . . 6
76eleq1d 2526 . . . . 5
87imbi2d 316 . . . 4
9 reseq2 5273 . . . . . 6
109eleq1d 2526 . . . . 5
1110imbi2d 316 . . . 4
12 reseq2 5273 . . . . . 6
1312eleq1d 2526 . . . . 5
1413imbi2d 316 . . . 4
15 res0 5283 . . . . . 6
16 0fin 7767 . . . . . 6
1715, 16eqeltri 2541 . . . . 5
1817a1i 11 . . . 4
19 resundi 5292 . . . . . . . 8
20 snfi 7616 . . . . . . . . . 10
21 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . 12
22 funressn 6084 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11
2423adantr 465 . . . . . . . . . 10
25 ssfi 7760 . . . . . . . . . 10
2620, 24, 25sylancr 663 . . . . . . . . 9
27 unfi 7807 . . . . . . . . 9
2826, 27sylan2 474 . . . . . . . 8
2919, 28syl5eqel 2549 . . . . . . 7
3029expcom 435 . . . . . 6
3130a2i 13 . . . . 5
3231a1i 11 . . . 4
335, 8, 11, 14, 18, 32findcard2 7780 . . 3
3433anabsi7 819 . 2
352, 34eqeltrrd 2546 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  |cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  cfv 5593   cfn 7536 This theorem is referenced by:  unirnffid  7832  mptfi  7839  seqf1olem2  12147  seqf1o  12148  hashfzdm  12498  hashfirdm  12500  iswrd  12550  wrdfin  12561  isstruct2  14641  xpsfrnel  14960  usgrafilem2  24412  cmpcref  27853  ftc1anclem3  30092  sstotbnd2  30270  prdstotbnd  30290  ffi  31450  stoweidlem59  31841  fourierdlem42  31931  fourierdlem54  31943  resfnfinfin  32310  fundmfibi  32311 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540
 Copyright terms: Public domain W3C validator