Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt2ovd Unicode version

Theorem fnmpt2ovd 6878
 Description: A function with a Cartesian product as domain is a mapping with two arguments defined by its operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fnmpt2ovd.m
fnmpt2ovd.s
fnmpt2ovd.d
fnmpt2ovd.c
fnmpt2ovd.v
Assertion
Ref Expression
fnmpt2ovd
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   M,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem fnmpt2ovd
StepHypRef Expression
1 fnmpt2ovd.m . . 3
2 fnmpt2ovd.c . . . . . 6
323expb 1197 . . . . 5
43ralrimivva 2878 . . . 4
5 eqid 2457 . . . . 5
65fnmpt2 6868 . . . 4
74, 6syl 16 . . 3
8 eqfnov2 6409 . . 3
91, 7, 8syl2anc 661 . 2
10 nfcv 2619 . . . . . . . 8
11 nfcv 2619 . . . . . . . 8
12 nfcv 2619 . . . . . . . 8
13 nfcv 2619 . . . . . . . 8
14 fnmpt2ovd.s . . . . . . . 8
1510, 11, 12, 13, 14cbvmpt2 6376 . . . . . . 7
1615eqcomi 2470 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
1817oveqd 6313 . . . 4
1918eqeq2d 2471 . . 3
20192ralbidv 2901 . 2
21 simprl 756 . . . . 5
22 simprr 757 . . . . 5
23 fnmpt2ovd.d . . . . . 6
24233expb 1197 . . . . 5
25 eqid 2457 . . . . . 6
2625ovmpt4g 6425 . . . . 5
2721, 22, 24, 26syl3anc 1228 . . . 4
2827eqeq2d 2471 . . 3
29282ralbidva 2899 . 2
309, 20, 293bitrd 279 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  X.cxp 5002  Fnwfn 5588  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298 This theorem is referenced by:  mpt2frlmd  18808 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801
 Copyright terms: Public domain W3C validator