MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnn0ind Unicode version

Theorem fnn0ind 10988
Description: Induction on the integers from to inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fnn0ind.1
fnn0ind.2
fnn0ind.3
fnn0ind.4
fnn0ind.5
fnn0ind.6
Assertion
Ref Expression
fnn0ind
Distinct variable groups:   ,   , ,N   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fnn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 10902 . . . 4
2 nn0z 10912 . . . . . 6
3 0z 10900 . . . . . . . 8
4 fnn0ind.1 . . . . . . . . 9
5 fnn0ind.2 . . . . . . . . 9
6 fnn0ind.3 . . . . . . . . 9
7 fnn0ind.4 . . . . . . . . 9
8 elnn0z 10902 . . . . . . . . . . 11
9 fnn0ind.5 . . . . . . . . . . 11
108, 9sylbir 213 . . . . . . . . . 10
11103adant1 1014 . . . . . . . . 9
12 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 0re 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 lelttr 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16 ltle 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17163adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1815, 17syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1914, 18mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2012, 13, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
2221com23 78 . . . . . . . . . . . . 13
23223impib 1194 . . . . . . . . . . . 12
2423impcom 430 . . . . . . . . . . 11
25 elnn0z 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 fnn0ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28273expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16
298, 26, 28syl2anbr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14
31303impa 1191 . . . . . . . . . . . . 13
3231expd 436 . . . . . . . . . . . 12
3332impcom 430 . . . . . . . . . . 11
3424, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10
3534adantll 713 . . . . . . . . 9
364, 5, 6, 7, 11, 35fzind 10987 . . . . . . . 8
373, 36mpanl1 680 . . . . . . 7
3837expcom 435 . . . . . 6
392, 38syl5 32 . . . . 5
40393expa 1196 . . . 4
411, 40sylanb 472 . . 3
4241impcom 430 . 2
43423impb 1192 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cn0 10820   cz 10889
This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  14199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator