MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnprb Unicode version

Theorem fnprb 6129
Description: A function whose domain has at most two elements can be represented as a set of at most two ordered pairs. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 12-Oct-2017.) Revised to eliminate unnecessary antecedent . (Revised by NM, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fnprb.1
fnprb.2
Assertion
Ref Expression
fnprb

Proof of Theorem fnprb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnprb.1 . . . . . 6
21fnsnb 6090 . . . . 5
3 dfsn2 4042 . . . . . 6
43fneq2i 5681 . . . . 5
5 dfsn2 4042 . . . . . 6
65eqeq2i 2475 . . . . 5
72, 4, 63bitr3i 275 . . . 4
87a1i 11 . . 3
9 preq2 4110 . . . 4
109fneq2d 5677 . . 3
11 id 22 . . . . . 6
12 fveq2 5871 . . . . . 6
1311, 12opeq12d 4225 . . . . 5
1413preq2d 4116 . . . 4
1514eqeq2d 2471 . . 3
168, 10, 153bitr3d 283 . 2
17 fndm 5685 . . . . . 6
18 fvex 5881 . . . . . . 7
19 fvex 5881 . . . . . . 7
2018, 19dmprop 5488 . . . . . 6
2117, 20syl6eqr 2516 . . . . 5
2221adantl 466 . . . 4
2317adantl 466 . . . . . . 7
2423eleq2d 2527 . . . . . 6
25 vex 3112 . . . . . . . 8
2625elpr 4047 . . . . . . 7
271, 18fvpr1 6114 . . . . . . . . . . 11
2827adantr 465 . . . . . . . . . 10
2928eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
30 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
31 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
3230, 31eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
3329, 32syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8
34 fnprb.2 . . . . . . . . . . . 12
3534, 19fvpr2 6115 . . . . . . . . . . 11
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10
3736eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
38 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
39 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
4038, 39eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
4137, 40syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8
4233, 41jaod 380 . . . . . . 7
4326, 42syl5bi 217 . . . . . 6
4424, 43sylbid 215 . . . . 5
4544ralrimiv 2869 . . . 4
46 fnfun 5683 . . . . 5
471, 34, 18, 19funpr 5644 . . . . 5
48 eqfunfv 5986 . . . . 5
4946, 47, 48syl2anr 478 . . . 4
5022, 45, 49mpbir2and 922 . . 3
5120a1i 11 . . . . 5
52 df-fn 5596 . . . . 5
5347, 51, 52sylanbrc 664 . . . 4
54 fneq1 5674 . . . . 5
5554biimprd 223 . . . 4
5653, 55mpan9 469 . . 3
5750, 56impbida 832 . 2
5816, 57pm2.61ine 2770 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035  domcdm 5004  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  wrd2pr2op  12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator