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Theorem fnse 6917
Description: Condition for the well-order in fnwe 6916 to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fnse.1
fnse.2
fnse.3
fnse.4
Assertion
Ref Expression
fnse
Distinct variable groups:   , ,   ,   , , ,   ,   , , ,   ,S,   ,

Proof of Theorem fnse
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnse.2 . . . . . . . 8
21ffvelrnda 6031 . . . . . . 7
3 fnse.3 . . . . . . . 8
4 seex 4847 . . . . . . . 8
53, 4sylan 471 . . . . . . 7
62, 5syldan 470 . . . . . 6
7 snex 4693 . . . . . 6
8 unexg 6601 . . . . . 6
96, 7, 8sylancl 662 . . . . 5
10 imaeq2 5338 . . . . . . . . 9
1110eleq1d 2526 . . . . . . . 8
1211imbi2d 316 . . . . . . 7
13 fnse.4 . . . . . . 7
1412, 13vtoclg 3167 . . . . . 6
1514impcom 430 . . . . 5
169, 15syldan 470 . . . 4
17 inss2 3718 . . . . . 6
18 vex 3112 . . . . . . . . 9
19 vex 3112 . . . . . . . . . 10
2019eliniseg 5371 . . . . . . . . 9
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . . 8
22 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
23 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23breqan12d 4467 . . . . . . . . . . 11
2522, 23eqeqan12d 2480 . . . . . . . . . . . 12
26 breq12 4457 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
2824, 27orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
29 fnse.1 . . . . . . . . . 10
3028, 29brab2ga 5080 . . . . . . . . 9
311ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3433elrab3 3258 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14
37 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938elsnc 4053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4037, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4236, 41orim12d 838 . . . . . . . . . . . . 13
43 elun 3644 . . . . . . . . . . . . 13
4442, 43syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . 12
45 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45jctild 543 . . . . . . . . . . 11
47 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . 14
481, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
50 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11
5246, 51sylibrd 234 . . . . . . . . . 10
5352expimpd 603 . . . . . . . . 9
5430, 53syl5bi 217 . . . . . . . 8
5521, 54syl5bi 217 . . . . . . 7
5655ssrdv 3509 . . . . . 6
5717, 56syl5ss 3514 . . . . 5
5857adantr 465 . . . 4
5916, 58ssexd 4599 . . 3
6059ralrimiva 2871 . 2
61 dfse2 5375 . 2
6260, 61sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  {copab 4509  Sewse 4841  `'ccnv 5003  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  r0weon  8411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-se 4844  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601
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