Theorem fnsnb 6090

Description: A function whose domain is a singleton can be represented as a singleton of an ordered pair. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) Revised to add reverse implication. (Revised by NM, 29-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
fnsnb.1

Assertion

Ref	Expression
fnsnb

Proof of Theorem fnsnb

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5695	. . . . . . . 8
2		fnfun 5683	. . . . . . . . 9
3		funressn 6084	. . . . . . . . 9
4	2, 3	syl 16	. . . . . . . 8
5	1, 4	eqsstr3d 3538	. . . . . . 7
6	5	sseld 3502	. . . . . 6
7		elsni 4054	. . . . . 6
8	6, 7	syl6 33	. . . . 5
9		df-fn 5596	. . . . . . . 8
10		fnsnb.1	. . . . . . . . . . 11
11	10	snid 4057	. . . . . . . . . 10
12		eleq2 2530	. . . . . . . . . 10
13	11, 12	mpbiri 233	. . . . . . . . 9
14	13	anim2i 569	. . . . . . . 8
15	9, 14	sylbi 195	. . . . . . 7
16		funfvop 5999	. . . . . . 7
17	15, 16	syl 16	. . . . . 6
18		eleq1 2529	. . . . . 6
19	17, 18	syl5ibrcom 222	. . . . 5
20	8, 19	impbid 191	. . . 4
21		elsn 4043	. . . 4
22	20, 21	syl6bbr 263	. . 3
23	22	eqrdv 2454	. 2
24		fvex 5881	. . . 4
25	10, 24	fnsn 5646	. . 3
26		fneq1 5674	. . 3
27	25, 26	mpbiri 233	. 2
28	23, 27	impbii 188	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035  domcdm 5004  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  fnprb  6129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601