Theorem fnsuppeq0 6947

Description: The support of a function is empty iff it is identically zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnsuppeq0

Proof of Theorem fnsuppeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3815	. . 3
2		un0 3810	. . . . . . . 8
3		uncom 3647	. . . . . . . 8
4	2, 3	eqtr3i 2488	. . . . . . 7
5	4	fneq2i 5681	. . . . . 6
6	5	biimpi 194	. . . . 5
7	6	3ad2ant1 1017	. . . 4
8		fnex 6139	. . . . 5
9	8	3adant3 1016	. . . 4
10		simp3 998	. . . 4
11		incom 3690	. . . . . 6
12		in0 3811	. . . . . 6
13	11, 12	eqtri 2486	. . . . 5
14	13	a1i 11	. . . 4
15		fnsuppres 6946	. . . 4
16	7, 9, 10, 14, 15	syl121anc 1233	. . 3
17	1, 16	syl5bbr 259	. 2
18		fnresdm 5695	. . . 4
19	18	3ad2ant1 1017	. . 3
20	19	eqeq1d 2459	. 2
21	17, 20	bitrd 253	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  X.cxp 5002  |`cres 5006  Fnwfn 5588  (class class class)co 6296  csupp 6918

This theorem is referenced by:  fczsupp0  6948  cantnf0  8115  mdegldg  22466  mdeg0  22470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6919