Theorem fnsuppres 6946

Description: Two ways to express restriction of a support set. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnsuppres

Proof of Theorem fnsuppres

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndm 5685	. . . . . 6
2		rabeq 3103	. . . . . 6
3	1, 2	syl 16	. . . . 5
4	3	3ad2ant1 1017	. . . 4
5	4	sseq1d 3530	. . 3
6		unss 3677	. . . . 5
7		ssrab2 3584	. . . . . 6
8	7	biantrur 506	. . . . 5
9		rabun2 3776	. . . . . 6
10	9	sseq1i 3527	. . . . 5
11	6, 8, 10	3bitr4ri 278	. . . 4
12		rabss 3576	. . . . 5
13		fvres 5885	. . . . . . . . 9
14	13	adantl 466	. . . . . . . 8
15		simp2r 1023	. . . . . . . . 9
16		fvconst2g 6124	. . . . . . . . 9
17	15, 16	sylan 471	. . . . . . . 8
18	14, 17	eqeq12d 2479	. . . . . . 7
19		nne 2658	. . . . . . . 8
20	19	a1i 11	. . . . . . 7
21		id 22	. . . . . . . . 9
22		simp3 998	. . . . . . . . 9
23		minel 3882	. . . . . . . . 9
24	21, 22, 23	syl2anr 478	. . . . . . . 8
25		mtt 339	. . . . . . . 8
26	24, 25	syl 16	. . . . . . 7
27	18, 20, 26	3bitr2rd 282	. . . . . 6
28	27	ralbidva 2893	. . . . 5
29	12, 28	syl5bb 257	. . . 4
30	11, 29	syl5bb 257	. . 3
31	5, 30	bitrd 253	. 2
32		fnfun 5683	. . . . . . 7
33	32	3anim1i 1182	. . . . . 6
34	33	3expb 1197	. . . . 5
35		suppval1 6924	. . . . 5
36	34, 35	syl 16	. . . 4
37	36	3adant3 1016	. . 3
38	37	sseq1d 3530	. 2
39		simp1 996	. . . 4
40		ssun2 3667	. . . . 5
41	40	a1i 11	. . . 4
42		fnssres 5699	. . . 4
43	39, 41, 42	syl2anc 661	. . 3
44		fnconstg 5778	. . . . 5
45	44	adantl 466	. . . 4
46	45	3ad2ant2 1018	. . 3
47		eqfnfv 5981	. . 3
48	43, 46, 47	syl2anc 661	. 2
49	31, 38, 48	3bitr4d 285	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  X.cxp 5002  domcdm 5004  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296  csupp 6918

This theorem is referenced by:  fnsuppeq0  6947  frlmsslss2  18805  resf1o  27553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6919