MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnsuppres Unicode version

Theorem fnsuppres 6946
Description: Two ways to express restriction of a support set. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnsuppres

Proof of Theorem fnsuppres
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fndm 5685 . . . . . 6
2 rabeq 3103 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
433ad2ant1 1017 . . . 4
54sseq1d 3530 . . 3
6 unss 3677 . . . . 5
7 ssrab2 3584 . . . . . 6
87biantrur 506 . . . . 5
9 rabun2 3776 . . . . . 6
109sseq1i 3527 . . . . 5
116, 8, 103bitr4ri 278 . . . 4
12 rabss 3576 . . . . 5
13 fvres 5885 . . . . . . . . 9
1413adantl 466 . . . . . . . 8
15 simp2r 1023 . . . . . . . . 9
16 fvconst2g 6124 . . . . . . . . 9
1715, 16sylan 471 . . . . . . . 8
1814, 17eqeq12d 2479 . . . . . . 7
19 nne 2658 . . . . . . . 8
2019a1i 11 . . . . . . 7
21 id 22 . . . . . . . . 9
22 simp3 998 . . . . . . . . 9
23 minel 3882 . . . . . . . . 9
2421, 22, 23syl2anr 478 . . . . . . . 8
25 mtt 339 . . . . . . . 8
2624, 25syl 16 . . . . . . 7
2718, 20, 263bitr2rd 282 . . . . . 6
2827ralbidva 2893 . . . . 5
2912, 28syl5bb 257 . . . 4
3011, 29syl5bb 257 . . 3
315, 30bitrd 253 . 2
32 fnfun 5683 . . . . . . 7
33323anim1i 1182 . . . . . 6
34333expb 1197 . . . . 5
35 suppval1 6924 . . . . 5
3634, 35syl 16 . . . 4
37363adant3 1016 . . 3
3837sseq1d 3530 . 2
39 simp1 996 . . . 4
40 ssun2 3667 . . . . 5
4140a1i 11 . . . 4
42 fnssres 5699 . . . 4
4339, 41, 42syl2anc 661 . . 3
44 fnconstg 5778 . . . . 5
4544adantl 466 . . . 4
46453ad2ant2 1018 . . 3
47 eqfnfv 5981 . . 3
4843, 46, 47syl2anc 661 . 2
4931, 38, 483bitr4d 285 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  X.cxp 5002  domcdm 5004  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296   csupp 6918
This theorem is referenced by:  fnsuppeq0  6947  frlmsslss2  18805  resf1o  27553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6919
  Copyright terms: Public domain W3C validator