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Theorem fnwelem 6915
Description: Lemma for fnwe 6916. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fnwe.1
fnwe.2
fnwe.3
fnwe.4
fnwe.5
fnwelem.6
fnwelem.7
Assertion
Ref Expression
fnwelem
Distinct variable groups:   , , , , , ,   , , , , , ,   , , ,   , , ,   , , , , , ,   ,Q, ,   , , , , ,   ,S, , , ,   ,

Proof of Theorem fnwelem
StepHypRef Expression
1 fnwe.2 . . . 4
2 ffvelrn 6029 . . . . . 6
3 simpr 461 . . . . . 6
4 opelxp 5034 . . . . . 6
52, 3, 4sylanbrc 664 . . . . 5
6 fnwelem.7 . . . . 5
75, 6fmptd 6055 . . . 4
8 frn 5742 . . . 4
91, 7, 83syl 20 . . 3
10 fnwe.3 . . . 4
11 fnwe.4 . . . 4
12 fnwelem.6 . . . . 5
1312wexp 6914 . . . 4
1410, 11, 13syl2anc 661 . . 3
15 wess 4871 . . 3
169, 14, 15sylc 60 . 2
17 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18opeq12d 4225 . . . . . . . . . . . 12
20 opex 4716 . . . . . . . . . . . 12
2119, 6, 20fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
22 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
23 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23opeq12d 4225 . . . . . . . . . . . 12
25 opex 4716 . . . . . . . . . . . 12
2624, 6, 25fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
2721, 26eqeqan12d 2480 . . . . . . . . . 10
28 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
29 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29opth 4726 . . . . . . . . . . 11
3130simprbi 464 . . . . . . . . . 10
3227, 31syl6bi 228 . . . . . . . . 9
3332rgen2a 2884 . . . . . . . 8
3433a1i 11 . . . . . . 7
35 dff13 6166 . . . . . . 7
367, 34, 35sylanbrc 664 . . . . . 6
37 f1f1orn 5832 . . . . . 6
38 f1ocnv 5833 . . . . . 6
391, 36, 37, 384syl 21 . . . . 5
40 eqid 2457 . . . . . . 7
4140f1oiso2 6248 . . . . . 6
42 fnwe.1 . . . . . . . 8
43 frel 5739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 dfrel2 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4543, 44sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14
4745fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14
4846, 47breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . 13
497, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5049adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5121, 26breqan12d 4467 . . . . . . . . . . . 12
5251adantl 466 . . . . . . . . . . 11
53 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
56 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
5856, 57jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
5955, 58anim12dan 837 . . . . . . . . . . . . 13
6059biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12
61 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 opelxp 5034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6361, 62syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . 14
6528, 29op1std 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15
6765eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6828, 29op2ndd 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7067, 69anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
7166, 70orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . 14
7264, 71anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
73 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 opelxp 5034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7573, 74syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14
77 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
78 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7977, 78op1std 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . 15
8179eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8277, 78op2ndd 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8481, 83anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
8580, 84orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . 14
8676, 85anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
8720, 25, 72, 86, 12brab 4775 . . . . . . . . . . . 12
8860, 87syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . 11
8950, 52, 883bitrrd 280 . . . . . . . . . 10
9089pm5.32da 641 . . . . . . . . 9
9190opabbidv 4515 . . . . . . . 8
9242, 91syl5eq 2510 . . . . . . 7
93 isoeq3 6217 . . . . . . 7
9492, 93syl 16 . . . . . 6
9541, 94syl5ibr 221 . . . . 5
961, 39, 95sylc 60 . . . 4
97 isocnv 6226 . . . 4
9896, 97syl 16 . . 3
99 imacnvcnv 5477 . . . . 5
100 fnwe.5 . . . . . . 7
101 vex 3112 . . . . . . 7
102 xpexg 6602 . . . . . . 7
103100, 101, 102sylancl 662 . . . . . 6
104 imadmres 5504 . . . . . . 7
105 dmres 5299 . . . . . . . . . . 11
106105elin2 3688 . . . . . . . . . 10
107 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
108 f1dm 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15
1091, 36, 1083syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
110109adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
111107, 110eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . 12
112111, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11
113 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1141, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
116 dmres 5299 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119115, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120117, 119syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . . . . . 15
121116, 120syl5eqss 3547 . . . . . . . . . . . . . 14
122 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15
123111, 119eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15
124116elin2 3688 . . . . . . . . . . . . . . 15
125122, 123, 124sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14
126 fnfvima 6150 . . . . . . . . . . . . . 14
127115, 121, 125, 126syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
128 imadmres 5504 . . . . . . . . . . . . 13
129127, 128syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12
130 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . . 12
131129, 122, 130syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
132112, 131eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
133106, 132sylan2b 475 . . . . . . . . 9
134133ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
135 f1fun 5788 . . . . . . . . . 10
1361, 36, 1353syl 20 . . . . . . . . 9
137 resss 5302 . . . . . . . . . 10
138 dmss 5207 . . . . . . . . . 10
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . 9
140 funimass4 5924 . . . . . . . . 9
141136, 139, 140sylancl 662 . . . . . . . 8
142134, 141mpbird 232 . . . . . . 7
143104, 142syl5eqssr 3548 . . . . . 6
144103, 143ssexd 4599 . . . . 5
14599, 144syl5eqel 2549 . . . 4
146145alrimiv 1719 . . 3
147 isowe2 6246 . . 3
14898, 146, 147syl2anc 661 . 2
14916, 148mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  Wewwe 4842  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594   c1st 6798   c2nd 6799
This theorem is referenced by:  fnwe  6916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-1st 6800  df-2nd 6801
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