MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomacn Unicode version

Theorem fodomacn 8458
Description: A version of fodom 8923 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8860. If has choice sequences of length , then any surjection from to can be inverted to an injection the other way. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomacn

Proof of Theorem fodomacn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foelrn 6050 . . . . 5
21ralrimiva 2871 . . . 4
3 fveq2 5871 . . . . . 6
43eqeq2d 2471 . . . . 5
54acni3 8449 . . . 4
62, 5sylan2 474 . . 3
7 simpll 753 . . . . 5
8 acnrcl 8444 . . . . 5
97, 8syl 16 . . . 4
10 simprl 756 . . . . 5
11 fveq2 5871 . . . . . . 7
12 simprr 757 . . . . . . . 8
13 id 22 . . . . . . . . . . . 12
14 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
1514fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
1613, 15eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
1716rspccva 3209 . . . . . . . . . 10
18 id 22 . . . . . . . . . . . 12
19 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
2019fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
2221rspccva 3209 . . . . . . . . . 10
2317, 22eqeqan12d 2480 . . . . . . . . 9
2423anandis 830 . . . . . . . 8
2512, 24sylan 471 . . . . . . 7
2611, 25syl5ibr 221 . . . . . 6
2726ralrimivva 2878 . . . . 5
28 dff13 6166 . . . . 5
2910, 27, 28sylanbrc 664 . . . 4
30 f1dom2g 7553 . . . 4
319, 7, 29, 30syl3anc 1228 . . 3
326, 31exlimddv 1726 . 2
3332ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109   class class class wbr 4452  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  `cfv 5593   cdom 7534  AC_wacn 8340
This theorem is referenced by:  fodomnum  8459  iundomg  8937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441  df-dom 7538  df-acn 8344
  Copyright terms: Public domain W3C validator