Theorem fodomfi 7819

Description: An onto function implies dominance of domain over range, for finite sets. Unlike fodom 8923 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfi

Proof of Theorem fodomfi

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foima 5805	. . 3
2	1	adantl 466	. 2
3		fofn 5802	. . . 4
4		imaeq2 5338	. . . . . . . 8
5		ima0 5357	. . . . . . . 8
6	4, 5	syl6eq 2514	. . . . . . 7
7		id 22	. . . . . . 7
8	6, 7	breq12d 4465	. . . . . 6
9	8	imbi2d 316	. . . . 5
10		imaeq2 5338	. . . . . . 7
11		id 22	. . . . . . 7
12	10, 11	breq12d 4465	. . . . . 6
13	12	imbi2d 316	. . . . 5
14		imaeq2 5338	. . . . . . 7
15		id 22	. . . . . . 7
16	14, 15	breq12d 4465	. . . . . 6
17	16	imbi2d 316	. . . . 5
18		imaeq2 5338	. . . . . . 7
19		id 22	. . . . . . 7
20	18, 19	breq12d 4465	. . . . . 6
21	20	imbi2d 316	. . . . 5
22		0ex 4582	. . . . . . 7
23	22	0dom 7667	. . . . . 6
24	23	a1i 11	. . . . 5
25		fnfun 5683	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14
27		funressn 6084	. . . . . . . . . . . . . 14
28		rnss 5236	. . . . . . . . . . . . . 14
29	26, 27, 28	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13
30		df-ima 5017	. . . . . . . . . . . . 13
31		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	rnsnop 5494	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . 13
34	29, 30, 33	3sstr4g 3544	. . . . . . . . . . . 12
35		snex 4693	. . . . . . . . . . . 12
36		ssexg 4598	. . . . . . . . . . . 12
37	34, 35, 36	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
38		fvi 5930	. . . . . . . . . . 11
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . 10
40	39	uneq2d 3657	. . . . . . . . 9
41		imaundi 5423	. . . . . . . . 9
42	40, 41	syl6eqr 2516	. . . . . . . 8
43		simprr 757	. . . . . . . . 9
44		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . 12
45	35, 34, 44	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11
46		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	ensn1 7599	. . . . . . . . . . . 12
48	31	ensn1 7599	. . . . . . . . . . . 12
49	47, 48	entr4i 7592	. . . . . . . . . . 11
50		domentr 7594	. . . . . . . . . . 11
51	45, 49, 50	sylancl 662	. . . . . . . . . 10
52	39, 51	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . 9
53		simplr 755	. . . . . . . . . 10
54		disjsn 4090	. . . . . . . . . 10
55	53, 54	sylibr 212	. . . . . . . . 9
56		undom 7625	. . . . . . . . 9
57	43, 52, 55, 56	syl21anc 1227	. . . . . . . 8
58	42, 57	eqbrtrrd 4474	. . . . . . 7
59	58	exp32 605	. . . . . 6
60	59	a2d 26	. . . . 5
61	9, 13, 17, 21, 24, 60	findcard2s 7781	. . . 4
62	3, 61	syl5 32	. . 3
63	62	imp 429	. 2
64	2, 63	eqbrtrrd 4474	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  cid 4795  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  c1o 7142  cen 7533  cdom 7534  cfn 7536

This theorem is referenced by:  fodomfib  7820  fofinf1o  7821  fidomdm  7822  fofi  7826  pwfilem  7834  cmpsub  19900  alexsubALT  20551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540