MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfib Unicode version

Theorem fodomfib 7820
Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 8925 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fodomfib
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fodomfib
StepHypRef Expression
1 fof 5800 . . . . . . . . . . . . 13
2 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . 13
31, 2syl 16 . . . . . . . . . . . 12
43eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
5 dm0rn0 5224 . . . . . . . . . . . 12
6 forn 5803 . . . . . . . . . . . . 13
76eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
85, 7syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11
94, 8bitr3d 255 . . . . . . . . . 10
109necon3bid 2715 . . . . . . . . 9
1110biimpac 486 . . . . . . . 8
1211adantll 713 . . . . . . 7
13 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
1413rnex 6734 . . . . . . . . . . 11
156, 14syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . 10
1615adantl 466 . . . . . . . . 9
17 0sdomg 7666 . . . . . . . . 9
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8
1918adantlr 714 . . . . . . 7
2012, 19mpbird 232 . . . . . 6
2120ex 434 . . . . 5
22 fodomfi 7819 . . . . . . 7
2322ex 434 . . . . . 6
2423adantr 465 . . . . 5
2521, 24jcad 533 . . . 4
2625exlimdv 1724 . . 3
2726expimpd 603 . 2
28 sdomdomtr 7670 . . . 4
29 0sdomg 7666 . . . 4
3028, 29syl5ib 219 . . 3
31 fodomr 7688 . . . 4
3231a1i 11 . . 3
3330, 32jcad 533 . 2
3427, 33impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784   class class class wbr 4452  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  -onto->wfo 5591   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator