Theorem fodomr 7370

Description: There exists a mapping from a set onto any (non-empty) set that it dominates. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fodomr

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fodomr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7227	. . . 4
2	1	brrelex2i 4884	. . 3
3	2	adantl 454	. 2
4	1	brrelexi 4883	. . . 4
5		0sdomg 7348	. . . . 5
6		n0 3669	. . . . 5
7	5, 6	syl6bb 254	. . . 4
8	4, 7	syl 16	. . 3
9	8	biimpac 474	. 2
10		brdomi 7231	. . 3
11	10	adantl 454	. 2
12		difexg 4450	. . . . . . . . . 10
13		snex 4540	. . . . . . . . . 10
14		xpexg 6472	. . . . . . . . . 10
15	12, 13, 14	sylancl 645	. . . . . . . . 9
16		vex 3009	. . . . . . . . . 10
17	16	cnvex 6488	. . . . . . . . 9
18	15, 17	jctil 525	. . . . . . . 8
19		unexb 6346	. . . . . . . 8
20	18, 19	sylib 190	. . . . . . 7
21		df-f1 5422	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	simprbi 452	. . . . . . . . . . . 12
23		vex 3009	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	fconst 5590	. . . . . . . . . . . . 13
25		ffun 5558	. . . . . . . . . . . . 13
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
27	22, 26	jctir 526	. . . . . . . . . . 11
28		df-rn 4855	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	eqcomi 2485	. . . . . . . . . . . . 13
30	23	snnz 4007	. . . . . . . . . . . . . 14
31		dmxp 5062	. . . . . . . . . . . . . 14
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
33	29, 32	ineq12i 3573	. . . . . . . . . . . 12
34		disjdif 3773	. . . . . . . . . . . 12
35	33, 34	eqtri 2501	. . . . . . . . . . 11
36		funun 5459	. . . . . . . . . . 11
37	27, 35, 36	sylancl 645	. . . . . . . . . 10
38	37	adantl 454	. . . . . . . . 9
39		dmun 5050	. . . . . . . . . . . 12
40	28	uneq1i 3530	. . . . . . . . . . . 12
41	32	uneq2i 3531	. . . . . . . . . . . 12
42	39, 40, 41	3eqtr2i 2507	. . . . . . . . . . 11
43		f1f 5600	. . . . . . . . . . . . 13
44		frn 5562	. . . . . . . . . . . . 13
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
46		undif 3781	. . . . . . . . . . . 12
47	45, 46	sylib 190	. . . . . . . . . . 11
48	42, 47	syl5eq 2525	. . . . . . . . . 10
49	48	adantl 454	. . . . . . . . 9
50		df-fn 5420	. . . . . . . . 9
51	38, 49, 50	sylanbrc 647	. . . . . . . 8
52		rnun 5246	. . . . . . . . 9
53		dfdm4 5036	. . . . . . . . . . . 12
54		f1dm 5604	. . . . . . . . . . . 12
55	53, 54	syl5eqr 2527	. . . . . . . . . . 11
56	55	uneq1d 3533	. . . . . . . . . 10
57		xpeq1 4858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58		0xp 4921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
59	57, 58	syl6eq 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	59	rneqd 5071	. . . . . . . . . . . . . . 15
61		rn0 5095	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	60, 61	syl6eq 2529	. . . . . . . . . . . . . 14
63		0ss 3688	. . . . . . . . . . . . . 14
64	62, 63	syl6eqss 3431	. . . . . . . . . . . . 13
65	64	a1d 24	. . . . . . . . . . . 12
66		rnxp 5268	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	66	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . 14
68		snssi 4027	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	68	adantl 454	. . . . . . . . . . . . . 14
70	67, 69	eqsstrd 3415	. . . . . . . . . . . . 13
71	70	ex 425	. . . . . . . . . . . 12
72	65, 71	pm2.61ine 2725	. . . . . . . . . . 11
73		ssequn2 3553	. . . . . . . . . . 11
74	72, 73	sylib 190	. . . . . . . . . 10
75	56, 74	sylan9eqr 2535	. . . . . . . . 9
76	52, 75	syl5eq 2525	. . . . . . . 8
77		df-fo 5423	. . . . . . . 8
78	51, 76, 77	sylanbrc 647	. . . . . . 7
79		foeq1 5610	. . . . . . . 8
80	79	spcegv 3087	. . . . . . 7
81	20, 78, 80	syl2im 37	. . . . . 6
82	81	expdimp 428	. . . . 5
83	82	exlimdv 1656	. . . 4
84	83	ex 425	. . 3
85	84	exlimdv 1656	. 2
86	3, 9, 11, 85	syl3c 60	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  E.wex 1557  =wceq 1662  e.wcel 1724  =/=wne 2644  cvv 3006  \cdif 3350  u.cun 3351  i^icin 3352  C_wss 3353  c0 3660  {csn 3894   class class class wbr 4302  X.cxp 4842  `'ccnv 4843  domcdm 4844  rancrn 4845  Funwfun 5411  Fnwfn 5412  -->wf 5413  -1-1->wf1 5414  -onto->wfo 5415  cdom 7219  csdm 7220

This theorem is referenced by:  pwdom  7371  fodomfib  7498  domwdom  7654  iunfictbso  8109  fodomb  8518  brdom3  8520  konigthlem  8557  1stcfb  18012  ovoliunnul  19907  ovoliunnfl  27104  voliunnfl  27106  volsupnfl  27107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-sep 4423  ax-nul 4431  ax-pow 4477  ax-pr 4538  ax-un 6338

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-sb 1669  df-eu 2309  df-mo 2310  df-clab 2468  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606  df-ne 2646  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3008  df-dif 3356  df-un 3358  df-in 3360  df-ss 3367  df-nul 3661  df-if 3813  df-pw 3880  df-sn 3900  df-pr 3901  df-op 3903  df-uni 4102  df-br 4303  df-opab 4361  df-mpt 4362  df-id 4639  df-xp 4850  df-rel 4851  df-cnv 4852  df-co 4853  df-dm 4854  df-rn 4855  df-res 4856  df-ima 4857  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-er 7017  df-en 7222  df-dom 7223  df-sdom 7224