Theorem fodomr 7307

Description: There exists a mapping from a set onto any (non-empty) set that it dominates. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fodomr

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fodomr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7164	. . . 4
2	1	brrelex2i 4959	. . 3
3	2	adantl 454	. 2
4	1	brrelexi 4958	. . . 4
5		0sdomg 7285	. . . . 5
6		n0 3625	. . . . 5
7	5, 6	syl6bb 254	. . . 4
8	4, 7	syl 16	. . 3
9	8	biimpac 474	. 2
10		brdomi 7168	. . 3
11	10	adantl 454	. 2
12		difexg 4390	. . . . . . . . . 10
13		snex 4444	. . . . . . . . . 10
14		xpexg 5031	. . . . . . . . . 10
15	12, 13, 14	sylancl 645	. . . . . . . . 9
16		vex 2968	. . . . . . . . . 10
17	16	cnvex 5452	. . . . . . . . 9
18	15, 17	jctil 525	. . . . . . . 8
19		unexb 4750	. . . . . . . 8
20	18, 19	sylib 190	. . . . . . 7
21		df-f1 5506	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	simprbi 452	. . . . . . . . . . . 12
23		vex 2968	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	fconst 5676	. . . . . . . . . . . . 13
25		ffun 5640	. . . . . . . . . . . . 13
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
27	22, 26	jctir 526	. . . . . . . . . . 11
28		df-rn 4930	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	eqcomi 2447	. . . . . . . . . . . . 13
30	23	snnz 3950	. . . . . . . . . . . . . 14
31		dmxp 5132	. . . . . . . . . . . . . 14
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
33	29, 32	ineq12i 3529	. . . . . . . . . . . 12
34		disjdif 3726	. . . . . . . . . . . 12
35	33, 34	eqtri 2463	. . . . . . . . . . 11
36		funun 5542	. . . . . . . . . . 11
37	27, 35, 36	sylancl 645	. . . . . . . . . 10
38	37	adantl 454	. . . . . . . . 9
39		dmun 5120	. . . . . . . . . . . 12
40	28	uneq1i 3486	. . . . . . . . . . . 12
41	32	uneq2i 3487	. . . . . . . . . . . 12
42	39, 40, 41	3eqtr2i 2469	. . . . . . . . . . 11
43		f1f 5686	. . . . . . . . . . . . 13
44		frn 5644	. . . . . . . . . . . . 13
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
46		undif 3734	. . . . . . . . . . . 12
47	45, 46	sylib 190	. . . . . . . . . . 11
48	42, 47	syl5eq 2487	. . . . . . . . . 10
49	48	adantl 454	. . . . . . . . 9
50		df-fn 5504	. . . . . . . . 9
51	38, 49, 50	sylanbrc 647	. . . . . . . 8
52		rnun 5324	. . . . . . . . 9
53		dfdm4 5107	. . . . . . . . . . . 12
54		f1dm 5690	. . . . . . . . . . . 12
55	53, 54	syl5eqr 2489	. . . . . . . . . . 11
56	55	uneq1d 3489	. . . . . . . . . 10
57		xpeq1 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58		0xp 4996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
59	57, 58	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	59	rneqd 5141	. . . . . . . . . . . . . . 15
61		rn0 5165	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	60, 61	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . 14
63		0ss 3644	. . . . . . . . . . . . . 14
64	62, 63	syl6eqss 3387	. . . . . . . . . . . . 13
65	64	a1d 24	. . . . . . . . . . . 12
66		rnxp 5343	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	66	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . 14
68		snssi 3970	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	68	adantl 454	. . . . . . . . . . . . . 14
70	67, 69	eqsstrd 3371	. . . . . . . . . . . . 13
71	70	ex 425	. . . . . . . . . . . 12
72	65, 71	pm2.61ine 2687	. . . . . . . . . . 11
73		ssequn2 3509	. . . . . . . . . . 11
74	72, 73	sylib 190	. . . . . . . . . 10
75	56, 74	sylan9eqr 2497	. . . . . . . . 9
76	52, 75	syl5eq 2487	. . . . . . . 8
77		df-fo 5507	. . . . . . . 8
78	51, 76, 77	sylanbrc 647	. . . . . . 7
79		foeq1 5696	. . . . . . . 8
80	79	spcegv 3046	. . . . . . 7
81	20, 78, 80	syl2im 37	. . . . . 6
82	81	expdimp 428	. . . . 5
83	82	exlimdv 1648	. . . 4
84	83	ex 425	. . 3
85	84	exlimdv 1648	. 2
86	3, 9, 11, 85	syl3c 60	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  E.wex 1551  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2606  cvv 2965  \cdif 3306  u.cun 3307  i^icin 3308  C_wss 3309  c0 3616  {csn 3841   class class class wbr 4243  X.cxp 4917  `'ccnv 4918  domcdm 4919  rancrn 4920  Funwfun 5495  Fnwfn 5496  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  -onto->wfo 5499  cdom 7156  csdm 7157

This theorem is referenced by:  pwdom  7308  fodomfib  7435  domwdom  7591  iunfictbso  8046  fodomb  8455  brdom3  8457  konigthlem  8494  1stcfb  17559  ovoliunnul  19454  ovoliunnfl  26357  voliunnfl  26359  volsupnfl  26360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161