Theorem fodomr 7423

Description: There exists a mapping from a set onto any (non-empty) set that it dominates. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fodomr

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fodomr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7279	. . . 4
2	1	brrelex2i 4902	. . 3
3	2	adantl 454	. 2
4	1	brrelexi 4901	. . . 4
5		0sdomg 7401	. . . . 5
6		n0 3682	. . . . 5
7	5, 6	syl6bb 254	. . . 4
8	4, 7	syl 16	. . 3
9	8	biimpac 474	. 2
10		brdomi 7283	. . 3
11	10	adantl 454	. 2
12		difexg 4466	. . . . . . . . . 10
13		snex 4556	. . . . . . . . . 10
14		xpexg 6517	. . . . . . . . . 10
15	12, 13, 14	sylancl 645	. . . . . . . . 9
16		vex 3018	. . . . . . . . . 10
17	16	cnvex 6533	. . . . . . . . 9
18	15, 17	jctil 525	. . . . . . . 8
19		unexb 6390	. . . . . . . 8
20	18, 19	sylib 190	. . . . . . 7
21		df-f1 5443	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	simprbi 452	. . . . . . . . . . . 12
23		vex 3018	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	fconst 5613	. . . . . . . . . . . . 13
25		ffun 5579	. . . . . . . . . . . . 13
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
27	22, 26	jctir 526	. . . . . . . . . . 11
28		df-rn 4873	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	eqcomi 2493	. . . . . . . . . . . . 13
30	23	snnz 4022	. . . . . . . . . . . . . 14
31		dmxp 5080	. . . . . . . . . . . . . 14
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
33	29, 32	ineq12i 3586	. . . . . . . . . . . 12
34		disjdif 3786	. . . . . . . . . . . 12
35	33, 34	eqtri 2509	. . . . . . . . . . 11
36		funun 5480	. . . . . . . . . . 11
37	27, 35, 36	sylancl 645	. . . . . . . . . 10
38	37	adantl 454	. . . . . . . . 9
39		dmun 5068	. . . . . . . . . . . 12
40	28	uneq1i 3543	. . . . . . . . . . . 12
41	32	uneq2i 3544	. . . . . . . . . . . 12
42	39, 40, 41	3eqtr2i 2515	. . . . . . . . . . 11
43		f1f 5623	. . . . . . . . . . . . 13
44		frn 5583	. . . . . . . . . . . . 13
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
46		undif 3794	. . . . . . . . . . . 12
47	45, 46	sylib 190	. . . . . . . . . . 11
48	42, 47	syl5eq 2533	. . . . . . . . . 10
49	48	adantl 454	. . . . . . . . 9
50		df-fn 5441	. . . . . . . . 9
51	38, 49, 50	sylanbrc 647	. . . . . . . 8
52		rnun 5267	. . . . . . . . 9
53		dfdm4 5054	. . . . . . . . . . . 12
54		f1dm 5627	. . . . . . . . . . . 12
55	53, 54	syl5eqr 2535	. . . . . . . . . . 11
56	55	uneq1d 3546	. . . . . . . . . 10
57		xpeq1 4876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58		0xp 4939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
59	57, 58	syl6eq 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	59	rneqd 5089	. . . . . . . . . . . . . . 15
61		rn0 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	60, 61	syl6eq 2537	. . . . . . . . . . . . . 14
63		0ss 3701	. . . . . . . . . . . . . 14
64	62, 63	syl6eqss 3443	. . . . . . . . . . . . 13
65	64	a1d 24	. . . . . . . . . . . 12
66		rnxp 5289	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	66	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . 14
68		snssi 4042	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	68	adantl 454	. . . . . . . . . . . . . 14
70	67, 69	eqsstrd 3427	. . . . . . . . . . . . 13
71	70	ex 425	. . . . . . . . . . . 12
72	65, 71	pm2.61ine 2733	. . . . . . . . . . 11
73		ssequn2 3566	. . . . . . . . . . 11
74	72, 73	sylib 190	. . . . . . . . . 10
75	56, 74	sylan9eqr 2543	. . . . . . . . 9
76	52, 75	syl5eq 2533	. . . . . . . 8
77		df-fo 5444	. . . . . . . 8
78	51, 76, 77	sylanbrc 647	. . . . . . 7
79		foeq1 5633	. . . . . . . 8
80	79	spcegv 3098	. . . . . . 7
81	20, 78, 80	syl2im 37	. . . . . 6
82	81	expdimp 428	. . . . 5
83	82	exlimdv 1664	. . . 4
84	83	ex 425	. . 3
85	84	exlimdv 1664	. 2
86	3, 9, 11, 85	syl3c 60	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  E.wex 1565  =wceq 1670  e.wcel 1732  =/=wne 2652  cvv 3015  \cdif 3362  u.cun 3363  i^icin 3364  C_wss 3365  c0 3673  {csn 3909   class class class wbr 4318  X.cxp 4860  `'ccnv 4861  domcdm 4862  rancrn 4863  Funwfun 5432  Fnwfn 5433  -->wf 5434  -1-1->wf1 5435  -onto->wfo 5436  cdom 7271  csdm 7272

This theorem is referenced by:  pwdom  7424  fodomfib  7552  domwdom  7709  iunfictbso  8166  fodomb  8575  brdom3  8577  konigthlem  8614  1stcfb  18523  ovoliunnul  20418  ovoliunnfl  27613  voliunnfl  27615  volsupnfl  27616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-ral 2764  df-rex 2765  df-rab 2768  df-v 3017  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-op 3918  df-uni 4118  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-id 4657  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-er 7067  df-en 7274  df-dom 7275  df-sdom 7276