MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomr Unicode version

Theorem fodomr 7307
Description: There exists a mapping from a set onto any (non-empty) set that it dominates. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fodomr
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fodomr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7164 . . . 4
21brrelex2i 4959 . . 3
32adantl 454 . 2
41brrelexi 4958 . . . 4
5 0sdomg 7285 . . . . 5
6 n0 3625 . . . . 5
75, 6syl6bb 254 . . . 4
84, 7syl 16 . . 3
98biimpac 474 . 2
10 brdomi 7168 . . 3
1110adantl 454 . 2
12 difexg 4390 . . . . . . . . . 10
13 snex 4444 . . . . . . . . . 10
14 xpexg 5031 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14sylancl 645 . . . . . . . . 9
16 vex 2968 . . . . . . . . . 10
1716cnvex 5452 . . . . . . . . 9
1815, 17jctil 525 . . . . . . . 8
19 unexb 4750 . . . . . . . 8
2018, 19sylib 190 . . . . . . 7
21 df-f1 5506 . . . . . . . . . . . . 13
2221simprbi 452 . . . . . . . . . . . 12
23 vex 2968 . . . . . . . . . . . . . 14
2423fconst 5676 . . . . . . . . . . . . 13
25 ffun 5640 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
2722, 26jctir 526 . . . . . . . . . . 11
28 df-rn 4930 . . . . . . . . . . . . . 14
2928eqcomi 2447 . . . . . . . . . . . . 13
3023snnz 3950 . . . . . . . . . . . . . 14
31 dmxp 5132 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
3329, 32ineq12i 3529 . . . . . . . . . . . 12
34 disjdif 3726 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11
36 funun 5542 . . . . . . . . . . 11
3727, 35, 36sylancl 645 . . . . . . . . . 10
3837adantl 454 . . . . . . . . 9
39 dmun 5120 . . . . . . . . . . . 12
4028uneq1i 3486 . . . . . . . . . . . 12
4132uneq2i 3487 . . . . . . . . . . . 12
4239, 40, 413eqtr2i 2469 . . . . . . . . . . 11
43 f1f 5686 . . . . . . . . . . . . 13
44 frn 5644 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12
46 undif 3734 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46sylib 190 . . . . . . . . . . 11
4842, 47syl5eq 2487 . . . . . . . . . 10
4948adantl 454 . . . . . . . . 9
50 df-fn 5504 . . . . . . . . 9
5138, 49, 50sylanbrc 647 . . . . . . . 8
52 rnun 5324 . . . . . . . . 9
53 dfdm4 5107 . . . . . . . . . . . 12
54 f1dm 5690 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . 11
5655uneq1d 3489 . . . . . . . . . 10
57 xpeq1 4933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 0xp 4996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5957, 58syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059rneqd 5141 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 rn0 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15
6260, 61syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . 14
63 0ss 3644 . . . . . . . . . . . . . 14
6462, 63syl6eqss 3387 . . . . . . . . . . . . 13
6564a1d 24 . . . . . . . . . . . 12
66 rnxp 5343 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
68 snssi 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
7067, 69eqsstrd 3371 . . . . . . . . . . . . 13
7170ex 425 . . . . . . . . . . . 12
7265, 71pm2.61ine 2687 . . . . . . . . . . 11
73 ssequn2 3509 . . . . . . . . . . 11
7472, 73sylib 190 . . . . . . . . . 10
7556, 74sylan9eqr 2497 . . . . . . . . 9
7652, 75syl5eq 2487 . . . . . . . 8
77 df-fo 5507 . . . . . . . 8
7851, 76, 77sylanbrc 647 . . . . . . 7
79 foeq1 5696 . . . . . . . 8
8079spcegv 3046 . . . . . . 7
8120, 78, 80syl2im 37 . . . . . 6
8281expdimp 428 . . . . 5
8382exlimdv 1648 . . . 4
8483ex 425 . . 3
8584exlimdv 1648 . 2
863, 9, 11, 85syl3c 60 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  E.wex 1551  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2606   cvv 2965  \cdif 3306  u.cun 3307  i^icin 3308  C_wss 3309   c0 3616  {csn 3841   class class class wbr 4243  X.cxp 4917  `'ccnv 4918  domcdm 4919  rancrn 4920  Funwfun 5495  Fnwfn 5496  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  -onto->wfo 5499   cdom 7156   csdm 7157
This theorem is referenced by:  pwdom  7308  fodomfib  7435  domwdom  7591  iunfictbso  8046  fodomb  8455  brdom3  8457  konigthlem  8494  1stcfb  17559  ovoliunnul  19454  ovoliunnfl  26357  voliunnfl  26359  volsupnfl  26360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161
  Copyright terms: Public domain W3C validator