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Theorem fodomr 7688
Description: There exists a mapping from a set onto any (nonempty) set that it dominates. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fodomr
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fodomr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7542 . . . 4
21brrelex2i 5046 . . 3
32adantl 466 . 2
41brrelexi 5045 . . . 4
5 0sdomg 7666 . . . . 5
6 n0 3794 . . . . 5
75, 6syl6bb 261 . . . 4
84, 7syl 16 . . 3
98biimpac 486 . 2
10 brdomi 7547 . . 3
1110adantl 466 . 2
12 difexg 4600 . . . . . . . . . 10
13 snex 4693 . . . . . . . . . 10
14 xpexg 6602 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14sylancl 662 . . . . . . . . 9
16 vex 3112 . . . . . . . . . 10
1716cnvex 6747 . . . . . . . . 9
1815, 17jctil 537 . . . . . . . 8
19 unexb 6600 . . . . . . . 8
2018, 19sylib 196 . . . . . . 7
21 df-f1 5598 . . . . . . . . . . . . 13
2221simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12
23 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
2423fconst 5776 . . . . . . . . . . . . 13
25 ffun 5738 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
2722, 26jctir 538 . . . . . . . . . . 11
28 df-rn 5015 . . . . . . . . . . . . . 14
2928eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13
3023snnz 4148 . . . . . . . . . . . . . 14
31 dmxp 5226 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
3329, 32ineq12i 3697 . . . . . . . . . . . 12
34 disjdif 3900 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
36 funun 5635 . . . . . . . . . . 11
3727, 35, 36sylancl 662 . . . . . . . . . 10
3837adantl 466 . . . . . . . . 9
39 dmun 5214 . . . . . . . . . . . 12
4028uneq1i 3653 . . . . . . . . . . . 12
4132uneq2i 3654 . . . . . . . . . . . 12
4239, 40, 413eqtr2i 2492 . . . . . . . . . . 11
43 f1f 5786 . . . . . . . . . . . . 13
44 frn 5742 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12
46 undif 3908 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46sylib 196 . . . . . . . . . . 11
4842, 47syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
4948adantl 466 . . . . . . . . 9
50 df-fn 5596 . . . . . . . . 9
5138, 49, 50sylanbrc 664 . . . . . . . 8
52 rnun 5419 . . . . . . . . 9
53 dfdm4 5200 . . . . . . . . . . . 12
54 f1dm 5790 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . 11
5655uneq1d 3656 . . . . . . . . . 10
57 xpeq1 5018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 0xp 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5957, 58syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 rn0 5259 . . . . . . . . . . . . . . 15
6260, 61syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
63 0ss 3814 . . . . . . . . . . . . . 14
6462, 63syl6eqss 3553 . . . . . . . . . . . . 13
6564a1d 25 . . . . . . . . . . . 12
66 rnxp 5442 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
68 snssi 4174 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
7067, 69eqsstrd 3537 . . . . . . . . . . . . 13
7170ex 434 . . . . . . . . . . . 12
7265, 71pm2.61ine 2770 . . . . . . . . . . 11
73 ssequn2 3676 . . . . . . . . . . 11
7472, 73sylib 196 . . . . . . . . . 10
7556, 74sylan9eqr 2520 . . . . . . . . 9
7652, 75syl5eq 2510 . . . . . . . 8
77 df-fo 5599 . . . . . . . 8
7851, 76, 77sylanbrc 664 . . . . . . 7
79 foeq1 5796 . . . . . . . 8
8079spcegv 3195 . . . . . . 7
8120, 78, 80syl2im 38 . . . . . 6
8281expdimp 437 . . . . 5
8382exlimdv 1724 . . . 4
8483ex 434 . . 3
8584exlimdv 1724 . 2
863, 9, 11, 85syl3c 61 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591   cdom 7534   csdm 7535
This theorem is referenced by:  pwdom  7689  fodomfib  7820  domwdom  8021  iunfictbso  8516  fodomb  8925  brdom3  8927  konigthlem  8964  1stcfb  19946  ovoliunnul  21918  ovoliunnfl  30056  voliunnfl  30058  volsupnfl  30059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539
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