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Theorem fodomr 7370
Description: There exists a mapping from a set onto any (non-empty) set that it dominates. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fodomr
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fodomr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7227 . . . 4
21brrelex2i 4884 . . 3
32adantl 454 . 2
41brrelexi 4883 . . . 4
5 0sdomg 7348 . . . . 5
6 n0 3669 . . . . 5
75, 6syl6bb 254 . . . 4
84, 7syl 16 . . 3
98biimpac 474 . 2
10 brdomi 7231 . . 3
1110adantl 454 . 2
12 difexg 4450 . . . . . . . . . 10
13 snex 4540 . . . . . . . . . 10
14 xpexg 6472 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14sylancl 645 . . . . . . . . 9
16 vex 3009 . . . . . . . . . 10
1716cnvex 6488 . . . . . . . . 9
1815, 17jctil 525 . . . . . . . 8
19 unexb 6346 . . . . . . . 8
2018, 19sylib 190 . . . . . . 7
21 df-f1 5422 . . . . . . . . . . . . 13
2221simprbi 452 . . . . . . . . . . . 12
23 vex 3009 . . . . . . . . . . . . . 14
2423fconst 5590 . . . . . . . . . . . . 13
25 ffun 5558 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
2722, 26jctir 526 . . . . . . . . . . 11
28 df-rn 4855 . . . . . . . . . . . . . 14
2928eqcomi 2485 . . . . . . . . . . . . 13
3023snnz 4007 . . . . . . . . . . . . . 14
31 dmxp 5062 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
3329, 32ineq12i 3573 . . . . . . . . . . . 12
34 disjdif 3773 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34eqtri 2501 . . . . . . . . . . 11
36 funun 5459 . . . . . . . . . . 11
3727, 35, 36sylancl 645 . . . . . . . . . 10
3837adantl 454 . . . . . . . . 9
39 dmun 5050 . . . . . . . . . . . 12
4028uneq1i 3530 . . . . . . . . . . . 12
4132uneq2i 3531 . . . . . . . . . . . 12
4239, 40, 413eqtr2i 2507 . . . . . . . . . . 11
43 f1f 5600 . . . . . . . . . . . . 13
44 frn 5562 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12
46 undif 3781 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46sylib 190 . . . . . . . . . . 11
4842, 47syl5eq 2525 . . . . . . . . . 10
4948adantl 454 . . . . . . . . 9
50 df-fn 5420 . . . . . . . . 9
5138, 49, 50sylanbrc 647 . . . . . . . 8
52 rnun 5246 . . . . . . . . 9
53 dfdm4 5036 . . . . . . . . . . . 12
54 f1dm 5604 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54syl5eqr 2527 . . . . . . . . . . 11
5655uneq1d 3533 . . . . . . . . . 10
57 xpeq1 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 0xp 4921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5957, 58syl6eq 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059rneqd 5071 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 rn0 5095 . . . . . . . . . . . . . . 15
6260, 61syl6eq 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
63 0ss 3688 . . . . . . . . . . . . . 14
6462, 63syl6eqss 3431 . . . . . . . . . . . . 13
6564a1d 24 . . . . . . . . . . . 12
66 rnxp 5268 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
68 snssi 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
7067, 69eqsstrd 3415 . . . . . . . . . . . . 13
7170ex 425 . . . . . . . . . . . 12
7265, 71pm2.61ine 2725 . . . . . . . . . . 11
73 ssequn2 3553 . . . . . . . . . . 11
7472, 73sylib 190 . . . . . . . . . 10
7556, 74sylan9eqr 2535 . . . . . . . . 9
7652, 75syl5eq 2525 . . . . . . . 8
77 df-fo 5423 . . . . . . . 8
7851, 76, 77sylanbrc 647 . . . . . . 7
79 foeq1 5610 . . . . . . . 8
8079spcegv 3087 . . . . . . 7
8120, 78, 80syl2im 37 . . . . . 6
8281expdimp 428 . . . . 5
8382exlimdv 1656 . . . 4
8483ex 425 . . 3
8584exlimdv 1656 . 2
863, 9, 11, 85syl3c 60 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  E.wex 1557  =wceq 1662  e.wcel 1724  =/=wne 2644   cvv 3006  \cdif 3350  u.cun 3351  i^icin 3352  C_wss 3353   c0 3660  {csn 3894   class class class wbr 4302  X.cxp 4842  `'ccnv 4843  domcdm 4844  rancrn 4845  Funwfun 5411  Fnwfn 5412  -->wf 5413  -1-1->wf1 5414  -onto->wfo 5415   cdom 7219   csdm 7220
This theorem is referenced by:  pwdom  7371  fodomfib  7498  domwdom  7654  iunfictbso  8109  fodomb  8518  brdom3  8520  konigthlem  8557  1stcfb  18012  ovoliunnul  19907  ovoliunnfl  27104  voliunnfl  27106  volsupnfl  27107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-sep 4423  ax-nul 4431  ax-pow 4477  ax-pr 4538  ax-un 6338
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-sb 1669  df-eu 2309  df-mo 2310  df-clab 2468  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606  df-ne 2646  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3008  df-dif 3356  df-un 3358  df-in 3360  df-ss 3367  df-nul 3661  df-if 3813  df-pw 3880  df-sn 3900  df-pr 3901  df-op 3903  df-uni 4102  df-br 4303  df-opab 4361  df-mpt 4362  df-id 4639  df-xp 4850  df-rel 4851  df-cnv 4852  df-co 4853  df-dm 4854  df-rn 4855  df-res 4856  df-ima 4857  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-er 7017  df-en 7222  df-dom 7223  df-sdom 7224
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