Theorem fodomr 7688

Description: There exists a mapping from a set onto any (nonempty) set that it dominates. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fodomr

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fodomr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7542	. . . 4
2	1	brrelex2i 5046	. . 3
3	2	adantl 466	. 2
4	1	brrelexi 5045	. . . 4
5		0sdomg 7666	. . . . 5
6		n0 3794	. . . . 5
7	5, 6	syl6bb 261	. . . 4
8	4, 7	syl 16	. . 3
9	8	biimpac 486	. 2
10		brdomi 7547	. . 3
11	10	adantl 466	. 2
12		difexg 4600	. . . . . . . . . 10
13		snex 4693	. . . . . . . . . 10
14		xpexg 6602	. . . . . . . . . 10
15	12, 13, 14	sylancl 662	. . . . . . . . 9
16		vex 3112	. . . . . . . . . 10
17	16	cnvex 6747	. . . . . . . . 9
18	15, 17	jctil 537	. . . . . . . 8
19		unexb 6600	. . . . . . . 8
20	18, 19	sylib 196	. . . . . . 7
21		df-f1 5598	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	simprbi 464	. . . . . . . . . . . 12
23		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	fconst 5776	. . . . . . . . . . . . 13
25		ffun 5738	. . . . . . . . . . . . 13
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
27	22, 26	jctir 538	. . . . . . . . . . 11
28		df-rn 5015	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . 13
30	23	snnz 4148	. . . . . . . . . . . . . 14
31		dmxp 5226	. . . . . . . . . . . . . 14
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
33	29, 32	ineq12i 3697	. . . . . . . . . . . 12
34		disjdif 3900	. . . . . . . . . . . 12
35	33, 34	eqtri 2486	. . . . . . . . . . 11
36		funun 5635	. . . . . . . . . . 11
37	27, 35, 36	sylancl 662	. . . . . . . . . 10
38	37	adantl 466	. . . . . . . . 9
39		dmun 5214	. . . . . . . . . . . 12
40	28	uneq1i 3653	. . . . . . . . . . . 12
41	32	uneq2i 3654	. . . . . . . . . . . 12
42	39, 40, 41	3eqtr2i 2492	. . . . . . . . . . 11
43		f1f 5786	. . . . . . . . . . . . 13
44		frn 5742	. . . . . . . . . . . . 13
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
46		undif 3908	. . . . . . . . . . . 12
47	45, 46	sylib 196	. . . . . . . . . . 11
48	42, 47	syl5eq 2510	. . . . . . . . . 10
49	48	adantl 466	. . . . . . . . 9
50		df-fn 5596	. . . . . . . . 9
51	38, 49, 50	sylanbrc 664	. . . . . . . 8
52		rnun 5419	. . . . . . . . 9
53		dfdm4 5200	. . . . . . . . . . . 12
54		f1dm 5790	. . . . . . . . . . . 12
55	53, 54	syl5eqr 2512	. . . . . . . . . . 11
56	55	uneq1d 3656	. . . . . . . . . 10
57		xpeq1 5018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58		0xp 5085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
59	57, 58	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	59	rneqd 5235	. . . . . . . . . . . . . . 15
61		rn0 5259	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	60, 61	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . 14
63		0ss 3814	. . . . . . . . . . . . . 14
64	62, 63	syl6eqss 3553	. . . . . . . . . . . . 13
65	64	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12
66		rnxp 5442	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
68		snssi 4174	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	68	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
70	67, 69	eqsstrd 3537	. . . . . . . . . . . . 13
71	70	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
72	65, 71	pm2.61ine 2770	. . . . . . . . . . 11
73		ssequn2 3676	. . . . . . . . . . 11
74	72, 73	sylib 196	. . . . . . . . . 10
75	56, 74	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . 9
76	52, 75	syl5eq 2510	. . . . . . . 8
77		df-fo 5599	. . . . . . . 8
78	51, 76, 77	sylanbrc 664	. . . . . . 7
79		foeq1 5796	. . . . . . . 8
80	79	spcegv 3195	. . . . . . 7
81	20, 78, 80	syl2im 38	. . . . . 6
82	81	expdimp 437	. . . . 5
83	82	exlimdv 1724	. . . 4
84	83	ex 434	. . 3
85	84	exlimdv 1724	. 2
86	3, 9, 11, 85	syl3c 61	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  cdom 7534  csdm 7535

This theorem is referenced by:  pwdom  7689  fodomfib  7820  domwdom  8021  iunfictbso  8516  fodomb  8925  brdom3  8927  konigthlem  8964  1stcfb  19946  ovoliunnul  21918  ovoliunnfl  30056  voliunnfl  30058  volsupnfl  30059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539