Theorem fofinf1o 7821

Description: Any surjection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fofinf1o

Proof of Theorem fofinf1o

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 996	. . . 4
2		fof 5800	. . . 4
3	1, 2	syl 16	. . 3
4		domnsym 7663	. . . . . . 7
5		simp3 998	. . . . . . . . . . 11
6		simp2 997	. . . . . . . . . . 11
7		enfii 7757	. . . . . . . . . . 11
8	5, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
9	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
10		difssd 3631	. . . . . . . . . 10
11		simplrr 762	. . . . . . . . . . . 12
12		neldifsn 4157	. . . . . . . . . . . 12
13		nelne1 2786	. . . . . . . . . . . 12
14	11, 12, 13	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
15	14	necomd 2728	. . . . . . . . . 10
16		df-pss 3491	. . . . . . . . . 10
17	10, 15, 16	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9
18		php3 7723	. . . . . . . . 9
19	9, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . . . 8
20	6	ad2antrr 725	. . . . . . . 8
21		sdomentr 7671	. . . . . . . 8
22	19, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . . 7
23	4, 22	nsyl3 119	. . . . . 6
24	8	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
25		difss 3630	. . . . . . . . . . 11
26		ssfi 7760	. . . . . . . . . . 11
27	24, 25, 26	sylancl 662	. . . . . . . . . 10
28	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
29		fssres 5756	. . . . . . . . . . . 12
30	28, 25, 29	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
31	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
32		foelrn 6050	. . . . . . . . . . . . . 14
33	31, 32	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13
34		simprll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
36		eldifsn 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
37	34, 35, 36	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39	38	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41	40	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
42	41	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43	37, 39, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
44		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
45	44	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
46	45	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
47	43, 46	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49	48	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
50		eldifsn 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
53	52	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
54	53	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
55	51, 54	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56	50, 55	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57	56	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	49, 57	pm2.61dane 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59		fvres 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60	59	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	60	rexbiia 2958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
62		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63	62	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	61, 63	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65	58, 64	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . 15
66	65	rexlimdva 2949	. . . . . . . . . . . . . 14
67	66	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13
68	33, 67	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12
69	68	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . 11
70		dffo3 6046	. . . . . . . . . . 11
71	30, 69, 70	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10
72		fodomfi 7819	. . . . . . . . . 10
73	27, 71, 72	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
74	73	anassrs 648	. . . . . . . 8
75	74	expr 615	. . . . . . 7
76	75	necon1bd 2675	. . . . . 6
77	23, 76	mpd 15	. . . . 5
78	77	ex 434	. . . 4
79	78	ralrimivva 2878	. . 3
80		dff13 6166	. . 3
81	3, 79, 80	sylanbrc 664	. 2
82		df-f1o 5600	. 2
83	81, 1, 82	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  C_wss 3475  C.wpss 3476  {csn 4029   class class class wbr 4452  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  cfn 7536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540