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Theorem fofinf1o 7821
Description: Any surjection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
fofinf1o

Proof of Theorem fofinf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4
2 fof 5800 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 domnsym 7663 . . . . . . 7
5 simp3 998 . . . . . . . . . . 11
6 simp2 997 . . . . . . . . . . 11
7 enfii 7757 . . . . . . . . . . 11
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
98ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
10 difssd 3631 . . . . . . . . . 10
11 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12
12 neldifsn 4157 . . . . . . . . . . . 12
13 nelne1 2786 . . . . . . . . . . . 12
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
1514necomd 2728 . . . . . . . . . 10
16 df-pss 3491 . . . . . . . . . 10
1710, 15, 16sylanbrc 664 . . . . . . . . 9
18 php3 7723 . . . . . . . . 9
199, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8
206ad2antrr 725 . . . . . . . 8
21 sdomentr 7671 . . . . . . . 8
2219, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . 7
234, 22nsyl3 119 . . . . . 6
248adantr 465 . . . . . . . . . . 11
25 difss 3630 . . . . . . . . . . 11
26 ssfi 7760 . . . . . . . . . . 11
2724, 25, 26sylancl 662 . . . . . . . . . 10
283adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
29 fssres 5756 . . . . . . . . . . . 12
3028, 25, 29sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
311adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
32 foelrn 6050 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
34 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
36 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3734, 35, 36sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3938eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4140eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4337, 39, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
44 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4645rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4743, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5352eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5453rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5551, 54mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5650, 55sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5756adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5849, 57pm2.61dane 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160rexbiia 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6362rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6461, 63syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6558, 64syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . . 14
6766imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
6833, 67syldan 470 . . . . . . . . . . . 12
6968ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
70 dffo3 6046 . . . . . . . . . . 11
7130, 69, 70sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
72 fodomfi 7819 . . . . . . . . . 10
7327, 71, 72syl2anc 661 . . . . . . . . 9
7473anassrs 648 . . . . . . . 8
7574expr 615 . . . . . . 7
7675necon1bd 2675 . . . . . 6
7723, 76mpd 15 . . . . 5
7877ex 434 . . . 4
7978ralrimivva 2878 . . 3
80 dff13 6166 . . 3
813, 79, 80sylanbrc 664 . 2
82 df-f1o 5600 . 2
8381, 1, 82sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  C_wss 3475  C.wpss 3476  {csn 4029   class class class wbr 4452  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
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