Theorem fopwdom 7645

Description: Covering implies injection on power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fopwdom

Proof of Theorem fopwdom

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5353	. . . . . 6
2		dfdm4 5200	. . . . . . 7
3		fof 5800	. . . . . . . 8
4		fdm 5740	. . . . . . . 8
5	3, 4	syl 16	. . . . . . 7
6	2, 5	syl5eqr 2512	. . . . . 6
7	1, 6	syl5sseq 3551	. . . . 5
8	7	adantl 466	. . . 4
9		cnvexg 6746	. . . . . 6
10	9	adantr 465	. . . . 5
11		imaexg 6737	. . . . 5
12		elpwg 4020	. . . . 5
13	10, 11, 12	3syl 20	. . . 4
14	8, 13	mpbird 232	. . 3
15	14	a1d 25	. 2
16		imaeq2 5338	. . . . . . 7
17	16	adantl 466	. . . . . 6
18		simpllr 760	. . . . . . 7
19		simplrl 761	. . . . . . . 8
20	19	elpwid 4022	. . . . . . 7
21		foimacnv 5838	. . . . . . 7
22	18, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . 6
23		simplrr 762	. . . . . . . 8
24	23	elpwid 4022	. . . . . . 7
25		foimacnv 5838	. . . . . . 7
26	18, 24, 25	syl2anc 661	. . . . . 6
27	17, 22, 26	3eqtr3d 2506	. . . . 5
28	27	ex 434	. . . 4
29		imaeq2 5338	. . . 4
30	28, 29	impbid1 203	. . 3
31	30	ex 434	. 2
32		rnexg 6732	. . . . 5
33		forn 5803	. . . . . 6
34	33	eleq1d 2526	. . . . 5
35	32, 34	syl5ibcom 220	. . . 4
36	35	imp 429	. . 3
37		pwexg 4636	. . 3
38	36, 37	syl 16	. 2
39		dmfex 6758	. . . 4
40	3, 39	sylan2 474	. . 3
41		pwexg 4636	. . 3
42	40, 41	syl 16	. 2
43	15, 31, 38, 42	dom3d 7577	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  cdom 7534

This theorem is referenced by:  pwdom  7689  wdompwdom  8025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-fv 5601  df-dom 7538