Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fopwdom Unicode version

Theorem fopwdom 7645
 Description: Covering implies injection on power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fopwdom

Proof of Theorem fopwdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5353 . . . . . 6
2 dfdm4 5200 . . . . . . 7
3 fof 5800 . . . . . . . 8
4 fdm 5740 . . . . . . . 8
53, 4syl 16 . . . . . . 7
62, 5syl5eqr 2512 . . . . . 6
71, 6syl5sseq 3551 . . . . 5
87adantl 466 . . . 4
9 cnvexg 6746 . . . . . 6
109adantr 465 . . . . 5
11 imaexg 6737 . . . . 5
12 elpwg 4020 . . . . 5
1310, 11, 123syl 20 . . . 4
148, 13mpbird 232 . . 3
1514a1d 25 . 2
16 imaeq2 5338 . . . . . . 7
1716adantl 466 . . . . . 6
18 simpllr 760 . . . . . . 7
19 simplrl 761 . . . . . . . 8
2019elpwid 4022 . . . . . . 7
21 foimacnv 5838 . . . . . . 7
2218, 20, 21syl2anc 661 . . . . . 6
23 simplrr 762 . . . . . . . 8
2423elpwid 4022 . . . . . . 7
25 foimacnv 5838 . . . . . . 7
2618, 24, 25syl2anc 661 . . . . . 6
2717, 22, 263eqtr3d 2506 . . . . 5
2827ex 434 . . . 4
29 imaeq2 5338 . . . 4
3028, 29impbid1 203 . . 3
3130ex 434 . 2
32 rnexg 6732 . . . . 5
33 forn 5803 . . . . . 6
3433eleq1d 2526 . . . . 5
3532, 34syl5ibcom 220 . . . 4
3635imp 429 . . 3
37 pwexg 4636 . . 3
3836, 37syl 16 . 2
39 dmfex 6758 . . . 4
403, 39sylan2 474 . . 3
41 pwexg 4636 . . 3
4240, 41syl 16 . 2
4315, 31, 38, 42dom3d 7577 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  -->wf 5589  -onto->`wfo 5591   cdom 7534 This theorem is referenced by:  pwdom  7689  wdompwdom  8025 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-fv 5601  df-dom 7538
 Copyright terms: Public domain W3C validator