Theorem fpar 6904

Description: Merge two functions in parallel. Use as the second argument of a composition with a (2-place) operation to build compound operations such as . (Contributed by NM, 17-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fpar.1

Assertion

Ref	Expression
fpar

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem fpar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fparlem3 6902	. . 3
2		fparlem4 6903	. . 3
3	1, 2	ineqan12d 3701	. 2
4		fpar.1	. 2
5		opex 4716	. . . 4
6	5	dfmpt2 6890	. . 3
7		inxp 5140	. . . . . . . 8
8		inxp 5140	. . . . . . . . . 10
9		inv1 3812	. . . . . . . . . . 11
10		incom 3690	. . . . . . . . . . . 12
11		inv1 3812	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	eqtri 2486	. . . . . . . . . . 11
13	9, 12	xpeq12i 5026	. . . . . . . . . 10
14		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
15		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
16	14, 15	xpsn 6073	. . . . . . . . . 10
17	8, 13, 16	3eqtri 2490	. . . . . . . . 9
18		inxp 5140	. . . . . . . . . 10
19		inv1 3812	. . . . . . . . . . 11
20		incom 3690	. . . . . . . . . . . 12
21		inv1 3812	. . . . . . . . . . . 12
22	20, 21	eqtri 2486	. . . . . . . . . . 11
23	19, 22	xpeq12i 5026	. . . . . . . . . 10
24		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
25		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
26	24, 25	xpsn 6073	. . . . . . . . . 10
27	18, 23, 26	3eqtri 2490	. . . . . . . . 9
28	17, 27	xpeq12i 5026	. . . . . . . 8
29		opex 4716	. . . . . . . . 9
30	29, 5	xpsn 6073	. . . . . . . 8
31	7, 28, 30	3eqtri 2490	. . . . . . 7
32	31	a1i 11	. . . . . 6
33	32	iuneq2i 4349	. . . . 5
34	33	a1i 11	. . . 4
35	34	iuneq2i 4349	. . 3
36		2iunin 4398	. . 3
37	6, 35, 36	3eqtr2i 2492	. 2
38	3, 4, 37	3eqtr4g 2523	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  i^icin 3474  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  |`cres 5006  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  `cfv 5593  e.cmpt2 6298  c1st 6798  c2nd 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801