Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpar Unicode version

Theorem fpar 6904
 Description: Merge two functions in parallel. Use as the second argument of a composition with a (2-place) operation to build compound operations such as . (Contributed by NM, 17-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fpar.1
Assertion
Ref Expression
fpar
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem fpar
StepHypRef Expression
1 fparlem3 6902 . . 3
2 fparlem4 6903 . . 3
31, 2ineqan12d 3701 . 2
4 fpar.1 . 2
5 opex 4716 . . . 4
65dfmpt2 6890 . . 3
7 inxp 5140 . . . . . . . 8
8 inxp 5140 . . . . . . . . . 10
9 inv1 3812 . . . . . . . . . . 11
10 incom 3690 . . . . . . . . . . . 12
11 inv1 3812 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
139, 12xpeq12i 5026 . . . . . . . . . 10
14 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
15 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
1614, 15xpsn 6073 . . . . . . . . . 10
178, 13, 163eqtri 2490 . . . . . . . . 9
18 inxp 5140 . . . . . . . . . 10
19 inv1 3812 . . . . . . . . . . 11
20 incom 3690 . . . . . . . . . . . 12
21 inv1 3812 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
2319, 22xpeq12i 5026 . . . . . . . . . 10
24 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
25 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
2624, 25xpsn 6073 . . . . . . . . . 10
2718, 23, 263eqtri 2490 . . . . . . . . 9
2817, 27xpeq12i 5026 . . . . . . . 8
29 opex 4716 . . . . . . . . 9
3029, 5xpsn 6073 . . . . . . . 8
317, 28, 303eqtri 2490 . . . . . . 7
3231a1i 11 . . . . . 6
3332iuneq2i 4349 . . . . 5
3433a1i 11 . . . 4
3534iuneq2i 4349 . . 3
36 2iunin 4398 . . 3
376, 35, 363eqtr2i 2492 . 2
383, 4, 373eqtr4g 2523 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  i^icin 3474  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  X.cxp 5002  'ccnv 5003  |cres 5006  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  cfv 5593  e.`cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801
 Copyright terms: Public domain W3C validator