Theorem fparlem3 6902

Description: Lemma for fpar 6904. (Contributed by NM, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fparlem3

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fparlem3

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coiun 5522	. 2
2		inss1 3717	. . . . 5
3		fndm 5685	. . . . 5
4	2, 3	syl5sseq 3551	. . . 4
5		dfco2a 5512	. . . 4
6	4, 5	syl 16	. . 3
7	6	coeq2d 5170	. 2
8		inss1 3717	. . . . . . . . 9
9		dmxpss 5443	. . . . . . . . 9
10	8, 9	sstri 3512	. . . . . . . 8
11		dfco2a 5512	. . . . . . . 8
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7
13		fvex 5881	. . . . . . . 8
14		fparlem1 6900	. . . . . . . . . 10
15		sneq 4039	. . . . . . . . . . 11
16	15	xpeq1d 5027	. . . . . . . . . 10
17	14, 16	syl5eq 2510	. . . . . . . . 9
18	15	imaeq2d 5342	. . . . . . . . . 10
19		df-ima 5017	. . . . . . . . . . 11
20		ssid 3522	. . . . . . . . . . . . . 14
21		xpssres 5313	. . . . . . . . . . . . . 14
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	rneqi 5234	. . . . . . . . . . . 12
24	13	snnz 4148	. . . . . . . . . . . . 13
25		rnxp 5442	. . . . . . . . . . . . 13
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
27	23, 26	eqtri 2486	. . . . . . . . . . 11
28	19, 27	eqtri 2486	. . . . . . . . . 10
29	18, 28	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9
30	17, 29	xpeq12d 5029	. . . . . . . 8
31	13, 30	iunxsn 4410	. . . . . . 7
32	12, 31	eqtri 2486	. . . . . 6
33	32	cnveqi 5182	. . . . 5
34		cnvco 5193	. . . . 5
35		cnvxp 5429	. . . . 5
36	33, 34, 35	3eqtr3i 2494	. . . 4
37		fparlem1 6900	. . . . . . . . 9
38	37	xpeq2i 5025	. . . . . . . 8
39		fnsnfv 5933	. . . . . . . . 9
40	39	xpeq1d 5027	. . . . . . . 8
41	38, 40	syl5eqr 2512	. . . . . . 7
42	41	cnveqd 5183	. . . . . 6
43		cnvxp 5429	. . . . . 6
44	42, 43	syl6eq 2514	. . . . 5
45	44	coeq2d 5170	. . . 4
46	36, 45	syl5eqr 2512	. . 3
47	46	iuneq2dv 4352	. 2
48	1, 7, 47	3eqtr4a 2524	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  U_ciun 4330  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  `cfv 5593  c1st 6798

This theorem is referenced by:  fpar  6904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801