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Theorem fprod2dlem 13784
Description: Lemma for fprod2d 13785- induction step. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod2d.1
fprod2d.2
fprod2d.3
fprod2d.4
fprod2d.5
fprod2d.6
fprod2d.7
Assertion
Ref Expression
fprod2dlem
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,   , ,   ,   ,   , ,   ,   ,   , ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fprod2dlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4
2 fprod2d.7 . . . 4
31, 2sylib 196 . . 3
4 nfcv 2619 . . . . . 6
5 nfcsb1v 3450 . . . . . . 7
6 nfcsb1v 3450 . . . . . . 7
75, 6nfcprod 13718 . . . . . 6
8 csbeq1a 3443 . . . . . . 7
9 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
109adantr 465 . . . . . . 7
118, 10prodeq12dv 13733 . . . . . 6
124, 7, 11cbvprodi 13724 . . . . 5
13 fprod2d.6 . . . . . . . . 9
1413unssbd 3681 . . . . . . . 8
15 vex 3112 . . . . . . . . 9
1615snss 4154 . . . . . . . 8
1714, 16sylibr 212 . . . . . . 7
18 fprod2d.3 . . . . . . . . . 10
1918ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
20 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . 11
2120nfel1 2635 . . . . . . . . . 10
22 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . 11
2322eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
2421, 23rspc 3204 . . . . . . . . 9
2517, 19, 24sylc 60 . . . . . . . 8
26 fprod2d.4 . . . . . . . . . . 11
2726ralrimivva 2878 . . . . . . . . . 10
28 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . 13
2928nfel1 2635 . . . . . . . . . . . 12
3020, 29nfral 2843 . . . . . . . . . . 11
31 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . 13
3231eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
3322, 32raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . 11
3430, 33rspc 3204 . . . . . . . . . 10
3517, 27, 34sylc 60 . . . . . . . . 9
3635r19.21bi 2826 . . . . . . . 8
3725, 36fprodcl 13759 . . . . . . 7
38 csbeq1 3437 . . . . . . . . 9
39 csbeq1 3437 . . . . . . . . . 10
4039adantr 465 . . . . . . . . 9
4138, 40prodeq12dv 13733 . . . . . . . 8
4241prodsn 13767 . . . . . . 7
4317, 37, 42syl2anc 661 . . . . . 6
44 nfcv 2619 . . . . . . . 8
45 nfcsb1v 3450 . . . . . . . 8
46 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
4744, 45, 46cbvprodi 13724 . . . . . . 7
48 csbeq1 3437 . . . . . . . . 9
49 snfi 7616 . . . . . . . . . 10
50 xpfi 7811 . . . . . . . . . 10
5149, 25, 50sylancr 663 . . . . . . . . 9
52 2ndconst 6889 . . . . . . . . . 10
5317, 52syl 16 . . . . . . . . 9
54 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
5554adantl 466 . . . . . . . . 9
5645nfel1 2635 . . . . . . . . . . 11
5746eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
5856, 57rspc 3204 . . . . . . . . . 10
5935, 58mpan9 469 . . . . . . . . 9
6048, 51, 53, 55, 59fprodf1o 13753 . . . . . . . 8
61 elxp 5021 . . . . . . . . . . . 12
62 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6420nfcri 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6563, 64nfan 1928 . . . . . . . . . . . . . . 15
6662, 65nfan 1928 . . . . . . . . . . . . . 14
6766nfex 1948 . . . . . . . . . . . . 13
68 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . 13
69 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7371, 72syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7522eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7675pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7774, 76syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15
7870, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14
7978exbidv 1714 . . . . . . . . . . . . 13
8067, 68, 79cbvex 2022 . . . . . . . . . . . 12
8161, 80bitri 249 . . . . . . . . . . 11
82 nfv 1707 . . . . . . . . . . . 12
83 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14
8483, 28nfcsb 3452 . . . . . . . . . . . . 13
8584nfeq2 2636 . . . . . . . . . . . 12
86 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . 13
87 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . 14
8887nfeq2 2636 . . . . . . . . . . . . 13
89 fprod2d.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9089ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
9131ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9593, 94op2nd 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9692, 95syl6req 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
10090, 91, 993eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . 14
101100expl 618 . . . . . . . . . . . . 13
10286, 88, 101exlimd 1914 . . . . . . . . . . . 12
10382, 85, 102exlimd 1914 . . . . . . . . . . 11
10481, 103syl5bi 217 . . . . . . . . . 10
105104imp 429 . . . . . . . . 9
106105prodeq2dv 13730 . . . . . . . 8
10760, 106eqtr4d 2501 . . . . . . 7
10847, 107syl5eq 2510 . . . . . 6
10943, 108eqtrd 2498 . . . . 5
11012, 109syl5eq 2510 . . . 4
111110adantr 465 . . 3
1123, 111oveq12d 6314 . 2
113 fprod2d.5 . . . . 5
114 disjsn 4090 . . . . 5
115113, 114sylibr 212 . . . 4
116 eqidd 2458 . . . 4
117 fprod2d.2 . . . . 5
118 ssfi 7760 . . . . 5
119117, 13, 118syl2anc 661 . . . 4
12013sselda 3503 . . . . 5
12126anassrs 648 . . . . . 6
12218, 121fprodcl 13759 . . . . 5
123120, 122syldan 470 . . . 4
124115, 116, 119, 123fprodsplit 13770 . . 3
125124adantr 465 . 2
126 eliun 4335 . . . . . . . . . 10
127 xp1st 6830 . . . . . . . . . . . . . 14
128 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . 14
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
130129eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
131130biimparc 487 . . . . . . . . . . 11
132131rexlimiva 2945 . . . . . . . . . 10
133126, 132sylbi 195 . . . . . . . . 9
134 xp1st 6830 . . . . . . . . 9
135133, 134anim12i 566 . . . . . . . 8
136 elin 3686 . . . . . . . 8
137 elin 3686 . . . . . . . 8
138135, 136, 1373imtr4i 266 . . . . . . 7
139115eleq2d 2527 . . . . . . . 8
140 noel 3788 . . . . . . . . 9
141140pm2.21i 131 . . . . . . . 8
142139, 141syl6bi 228 . . . . . . 7
143138, 142syl5 32 . . . . . 6
144143ssrdv 3509 . . . . 5
145 ss0 3816 . . . . 5
146144, 145syl 16 . . . 4
147 iunxun 4412 . . . . . 6
148 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
149 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
150149, 5nfxp 5031 . . . . . . . . 9
151 sneq 4039 . . . . . . . . . 10
152151, 8xpeq12d 5029 . . . . . . . . 9
153148, 150, 152cbviun 4367 . . . . . . . 8
154 sneq 4039 . . . . . . . . . 10
155154, 38xpeq12d 5029 . . . . . . . . 9
15615, 155iunxsn 4410 . . . . . . . 8
157153, 156eqtri 2486 . . . . . . 7
158157uneq2i 3654 . . . . . 6
159147, 158eqtri 2486 . . . . 5
160159a1i 11 . . . 4
161 snfi 7616 . . . . . . 7
162120, 18syldan 470 . . . . . . 7
163 xpfi 7811 . . . . . . 7
164161, 162, 163sylancr 663 . . . . . 6
165164ralrimiva 2871 . . . . 5
166 iunfi 7828 . . . . 5
167119, 165, 166syl2anc 661 . . . 4
168 eliun 4335 . . . . . 6
169 elxp 5021 . . . . . . . 8
170 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13
171 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . 15
172 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . . 15
173171, 172syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
174173opeq1d 4223 . . . . . . . . . . . . 13
175170, 174eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
176175, 89syl 16 . . . . . . . . . . 11
177 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
178120adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
179 simprrr 766 . . . . . . . . . . . 12
180177, 178, 179, 26syl12anc 1226 . . . . . . . . . . 11
181176, 180eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
182181ex 434 . . . . . . . . 9
183182exlimdvv 1725 . . . . . . . 8
184169, 183syl5bi 217 . . . . . . 7
185184rexlimdva 2949 . . . . . 6
186168, 185syl5bi 217 . . . . 5
187186imp 429 . . . 4
188146, 160, 167, 187fprodsplit 13770 . . 3
189188adantr 465 . 2
190112, 125, 1893eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  X.cxp 5002  |`cres 5006  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cfn 7536   cc 9511   cmul 9518  prod_cprod 13712
This theorem is referenced by:  fprod2d  13785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713
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