Theorem fprodabs 13778

Description: The absolute value of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 25-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodabs.1
fprodabs.2
fprodabs.3

Assertion

Ref	Expression
fprodabs

Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem fprodabs

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodabs.2	. . 3
2		fprodabs.1	. . 3
3	1, 2	syl6eleq 2555	. 2
4		oveq2 6304	. . . . . . 7
5	4	prodeq1d 13728	. . . . . 6
6	5	fveq2d 5875	. . . . 5
7	4	prodeq1d 13728	. . . . 5
8	6, 7	eqeq12d 2479	. . . 4
9	8	imbi2d 316	. . 3
10		oveq2 6304	. . . . . . 7
11	10	prodeq1d 13728	. . . . . 6
12	11	fveq2d 5875	. . . . 5
13	10	prodeq1d 13728	. . . . 5
14	12, 13	eqeq12d 2479	. . . 4
15	14	imbi2d 316	. . 3
16		oveq2 6304	. . . . . . 7
17	16	prodeq1d 13728	. . . . . 6
18	17	fveq2d 5875	. . . . 5
19	16	prodeq1d 13728	. . . . 5
20	18, 19	eqeq12d 2479	. . . 4
21	20	imbi2d 316	. . 3
22		oveq2 6304	. . . . . . 7
23	22	prodeq1d 13728	. . . . . 6
24	23	fveq2d 5875	. . . . 5
25	22	prodeq1d 13728	. . . . 5
26	24, 25	eqeq12d 2479	. . . 4
27	26	imbi2d 316	. . 3
28		csbfv2g 5908	. . . . . 6
29	28	adantl 466	. . . . 5
30		fzsn 11754	. . . . . . . 8
31	30	adantl 466	. . . . . . 7
32	31	prodeq1d 13728	. . . . . 6
33		simpr 461	. . . . . . 7
34		uzid 11124	. . . . . . . . . . . 12
35	34, 2	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . 11
36		fprodabs.3	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12
38		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . . 13
40		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13
42	39, 41	rspc 3204	. . . . . . . . . . . 12
43	37, 42	mpan9 469	. . . . . . . . . . 11
44	35, 43	sylan2 474	. . . . . . . . . 10
45	44	abscld 13267	. . . . . . . . 9
46	45	recnd 9643	. . . . . . . 8
47	29, 46	eqeltrd 2545	. . . . . . 7
48		prodsns 13776	. . . . . . 7
49	33, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . 6
50	32, 49	eqtrd 2498	. . . . 5
51	30	prodeq1d 13728	. . . . . . . 8
52	51	adantl 466	. . . . . . 7
53		prodsns 13776	. . . . . . . 8
54	33, 44, 53	syl2anc 661	. . . . . . 7
55	52, 54	eqtrd 2498	. . . . . 6
56	55	fveq2d 5875	. . . . 5
57	29, 50, 56	3eqtr4rd 2509	. . . 4
58	57	expcom 435	. . 3
59		simp3 998	. . . . . . . 8
60		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11
61		csbfv2g 5908	. . . . . . . . . . 11
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
63	62	eqcomi 2470	. . . . . . . . 9
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8
65	59, 64	oveq12d 6314	. . . . . . 7
66		simpr 461	. . . . . . . . . . 11
67		elfzuz 11713	. . . . . . . . . . . . . 14
68	67, 2	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . 13
69	68, 36	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12
70	69	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
71	66, 70	fprodp1s 13775	. . . . . . . . . 10
72	71	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
73		fzfid 12083	. . . . . . . . . . 11
74		elfzuz 11713	. . . . . . . . . . . . . 14
75	74, 2	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . 13
76	75, 36	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12
77	76	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
78	73, 77	fprodcl 13759	. . . . . . . . . 10
79		peano2uz 11163	. . . . . . . . . . . 12
80	79, 2	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . 11
81		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . . 14
82	81	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . . 13
83		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . . 14
84	83	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13
85	82, 84	rspc 3204	. . . . . . . . . . . 12
86	37, 85	mpan9 469	. . . . . . . . . . 11
87	80, 86	sylan2 474	. . . . . . . . . 10
88	78, 87	absmuld 13285	. . . . . . . . 9
89	72, 88	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
90	89	3adant3 1016	. . . . . . 7
91	70	abscld 13267	. . . . . . . . . 10
92	91	recnd 9643	. . . . . . . . 9
93	66, 92	fprodp1s 13775	. . . . . . . 8
94	93	3adant3 1016	. . . . . . 7
95	65, 90, 94	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
96	95	3exp 1195	. . . . 5
97	96	com12 31	. . . 4
98	97	a2d 26	. . 3
99	9, 15, 21, 27, 58, 98	uzind4 11168	. 2
100	3, 99	mpcom 36	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  [_csb 3434  {csn 4029  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  cabs 13067  prod_cprod 13712

This theorem is referenced by:  etransclem23  32040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713