Theorem fprodcvg 13737

Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1
prodmo.2
prodrb.3
fprodcvg.4

Assertion

Ref	Expression
fprodcvg

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,M   ,N

Proof of Theorem fprodcvg

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. 2
2		prodrb.3	. . 3
3		eluzelz 11119	. . 3
4	2, 3	syl 16	. 2
5		seqex 12109	. . 3
6	5	a1i 11	. 2
7		eqid 2457	. . . 4
8		eluzel2 11115	. . . . 5
9	2, 8	syl 16	. . . 4
10		eluzelz 11119	. . . . . . 7
11	10	adantl 466	. . . . . 6
12		iftrue 3947	. . . . . . . . . 10
13	12	adantl 466	. . . . . . . . 9
14		prodmo.2	. . . . . . . . . 10
15	14	adantlr 714	. . . . . . . . 9
16	13, 15	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
17	16	ex 434	. . . . . . 7
18		iffalse 3950	. . . . . . . 8
19		ax-1cn 9571	. . . . . . . 8
20	18, 19	syl6eqel 2553	. . . . . . 7
21	17, 20	pm2.61d1 159	. . . . . 6
22		prodmo.1	. . . . . . 7
23	22	fvmpt2 5963	. . . . . 6
24	11, 21, 23	syl2anc 661	. . . . 5
25	24, 21	eqeltrd 2545	. . . 4
26	7, 9, 25	prodf 13696	. . 3
27	26, 2	ffvelrnd 6032	. 2
28		mulid1 9614	. . . . 5
29	28	adantl 466	. . . 4
30	2	adantr 465	. . . 4
31		simpr 461	. . . 4
32	9	adantr 465	. . . . . 6
33	25	adantlr 714	. . . . . 6
34	7, 32, 33	prodf 13696	. . . . 5
35	34, 30	ffvelrnd 6032	. . . 4
36		elfzuz 11713	. . . . . 6
37		eluzelz 11119	. . . . . . . . 9
38	37	adantl 466	. . . . . . . 8
39		fprodcvg.4	. . . . . . . . . . . 12
40	39	sseld 3502	. . . . . . . . . . 11
41		fznuz 11789	. . . . . . . . . . 11
42	40, 41	syl6 33	. . . . . . . . . 10
43	42	con2d 115	. . . . . . . . 9
44	43	imp 429	. . . . . . . 8
45	38, 44	eldifd 3486	. . . . . . 7
46		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
47	46	eqeq1d 2459	. . . . . . . 8
48		eldifi 3625	. . . . . . . . . 10
49		eldifn 3626	. . . . . . . . . . . 12
50	49, 18	syl 16	. . . . . . . . . . 11
51	50, 19	syl6eqel 2553	. . . . . . . . . 10
52	48, 51, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
53	52, 50	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
54	47, 53	vtoclga 3173	. . . . . . 7
55	45, 54	syl 16	. . . . . 6
56	36, 55	sylan2 474	. . . . 5
57	56	adantlr 714	. . . 4
58	29, 30, 31, 35, 57	seqid2 12153	. . 3
59	58	eqcomd 2465	. 2
60	1, 4, 6, 27, 59	climconst 13366	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307

This theorem is referenced by:  prodmolem2a  13741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311