MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodefsum Unicode version

Theorem fprodefsum 13830
Description: Move the exponential function from inside a finite product to outside a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 26-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodefsum.1
fprodefsum.2
fprodefsum.3
Assertion
Ref Expression
fprodefsum
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem fprodefsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodefsum.2 . . . 4
2 fprodefsum.1 . . . 4
31, 2syl6eleq 2555 . . 3
4 oveq2 6304 . . . . . . 7
54prodeq1d 13728 . . . . . 6
64sumeq1d 13523 . . . . . . 7
76fveq2d 5875 . . . . . 6
85, 7eqeq12d 2479 . . . . 5
98imbi2d 316 . . . 4
10 oveq2 6304 . . . . . . 7
1110prodeq1d 13728 . . . . . 6
1210sumeq1d 13523 . . . . . . 7
1312fveq2d 5875 . . . . . 6
1411, 13eqeq12d 2479 . . . . 5
1514imbi2d 316 . . . 4
16 oveq2 6304 . . . . . . 7
1716prodeq1d 13728 . . . . . 6
1816sumeq1d 13523 . . . . . . 7
1918fveq2d 5875 . . . . . 6
2017, 19eqeq12d 2479 . . . . 5
2120imbi2d 316 . . . 4
22 oveq2 6304 . . . . . . 7
2322prodeq1d 13728 . . . . . 6
2422sumeq1d 13523 . . . . . . 7
2524fveq2d 5875 . . . . . 6
2623, 25eqeq12d 2479 . . . . 5
2726imbi2d 316 . . . 4
28 fzsn 11754 . . . . . . . . 9
2928adantl 466 . . . . . . . 8
3029prodeq1d 13728 . . . . . . 7
31 simpr 461 . . . . . . . 8
32 uzid 11124 . . . . . . . . . 10
3332, 2syl6eleqr 2556 . . . . . . . . 9
34 fprodefsum.3 . . . . . . . . . . . 12
35 efcl 13818 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11
37 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
3836, 37fmptd 6055 . . . . . . . . . 10
3938ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9
4033, 39sylan2 474 . . . . . . . 8
41 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
4241prodsn 13767 . . . . . . . 8
4331, 40, 42syl2anc 661 . . . . . . 7
4433adantl 466 . . . . . . . 8
45 fvex 5881 . . . . . . . 8
46 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
47 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
48 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . 10
4947, 48nffv 5878 . . . . . . . . 9
50 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . 10
5150fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
5246, 49, 51, 37fvmptf 5972 . . . . . . . 8
5344, 45, 52sylancl 662 . . . . . . 7
5430, 43, 533eqtrd 2502 . . . . . 6
5529sumeq1d 13523 . . . . . . . 8
56 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
5734, 56fmptd 6055 . . . . . . . . . . 11
5857ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
5933, 58sylan2 474 . . . . . . . . 9
60 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
6160sumsn 13563 . . . . . . . . 9
6231, 59, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8
6334ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10
6448nfel1 2635 . . . . . . . . . . . 12
6550eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65rspc 3204 . . . . . . . . . . 11
6766impcom 430 . . . . . . . . . 10
6863, 33, 67syl2an 477 . . . . . . . . 9
6956fvmpts 5958 . . . . . . . . 9
7044, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . 8
7155, 62, 703eqtrd 2502 . . . . . . 7
7271fveq2d 5875 . . . . . 6
7354, 72eqtr4d 2501 . . . . 5
7473expcom 435 . . . 4
75 simp3 998 . . . . . . . . . 10
762peano2uzs 11164 . . . . . . . . . . . 12
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
78 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7978nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8279, 81rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8363, 82mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 efcl 13818 . . . . . . . . . . . . . . 15
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
86 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15
8747, 78nffv 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15
8880fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
8986, 87, 88, 37fvmptf 5972 . . . . . . . . . . . . . 14
9077, 85, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
9156fvmpts 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15
9277, 83, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
9392fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
9490, 93eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
9576, 94sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
96953adant3 1016 . . . . . . . . . 10
9775, 96oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
98 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
9998, 2syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11
100 elfzuz 11713 . . . . . . . . . . . . . 14
101100, 2syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . 13
10238ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . 13
103101, 102sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
104103adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
105 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
10699, 104, 105fprodp1 13773 . . . . . . . . . 10
1071063adant3 1016 . . . . . . . . 9
10857ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15
109101, 108sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
110109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
111 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
11299, 110, 111fsump1 13571 . . . . . . . . . . . 12
113112fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
114 fzfid 12083 . . . . . . . . . . . . 13
115 elfzuz 11713 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115, 2syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15
117116, 108sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
118117adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
119114, 118fsumcl 13555 . . . . . . . . . . . 12
12057ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . 13
12176, 120sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
122 efadd 13829 . . . . . . . . . . . 12
123119, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
124113, 123eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
1251243adant3 1016 . . . . . . . . 9
12697, 107, 1253eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
1271263exp 1195 . . . . . . 7
128127com12 31 . . . . . 6
129128a2d 26 . . . . 5
1302eqcomi 2470 . . . . 5
131129, 130eleq2s 2565 . . . 4
1329, 15, 21, 27, 74, 131uzind4 11168 . . 3
1333, 132mpcom 36 . 2
134 fzssuz 11753 . . . . . . . 8
135134, 2sseqtr4i 3536 . . . . . . 7
136 resmpt 5328 . . . . . . 7
137135, 136ax-mp 5 . . . . . 6
138137fveq1i 5872 . . . . 5
139 fvres 5885 . . . . 5
140138, 139syl5reqr 2513 . . . 4
141140prodeq2i 13726 . . 3
142 prodfc 13752 . . 3
143141, 142eqtri 2486 . 2
144 resmpt 5328 . . . . . . . 8
145135, 144ax-mp 5 . . . . . . 7
146145fveq1i 5872 . . . . . 6
147 fvres 5885 . . . . . 6
148146, 147syl5reqr 2513 . . . . 5
149148sumeq2i 13521 . . . 4
150 sumfc 13531 . . . 4
151149, 150eqtri 2486 . . 3
152151fveq2i 5874 . 2
153133, 143, 1523eqtr3g 2521 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  {csn 4029  e.cmpt 4510  |`cres 5006  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  sum_csu 13508  prod_cprod 13712   ce 13797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-prod 13713  df-ef 13803
  Copyright terms: Public domain W3C validator