MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodm1 Unicode version

Theorem fprodm1 13771
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1
fprodm1.2
fprodm1.3
Assertion
Ref Expression
fprodm1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,N

Proof of Theorem fprodm1
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 11791 . . . . 5
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9
3 eluzelz 11119 . . . . . . . . 9
42, 3syl 16 . . . . . . . 8
54zcnd 10995 . . . . . . 7
6 1cnd 9633 . . . . . . 7
75, 6npcand 9958 . . . . . 6
87eleq1d 2526 . . . . 5
91, 8mtbii 302 . . . 4
10 disjsn 4090 . . . 4
119, 10sylibr 212 . . 3
12 eluzel2 11115 . . . . . 6
132, 12syl 16 . . . . 5
14 peano2zm 10932 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
1613zcnd 10995 . . . . . . . . 9
1716, 6npcand 9958 . . . . . . . 8
1817fveq2d 5875 . . . . . . 7
192, 18eleqtrrd 2548 . . . . . 6
20 eluzp1m1 11133 . . . . . 6
2115, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5
22 fzsuc2 11766 . . . . 5
2313, 21, 22syl2anc 661 . . . 4
247oveq2d 6312 . . . 4
257sneqd 4041 . . . . 5
2625uneq2d 3657 . . . 4
2723, 24, 263eqtr3d 2506 . . 3
28 fzfid 12083 . . 3
29 fprodm1.2 . . 3
3011, 27, 28, 29fprodsplit 13770 . 2
31 eluzfz2 11723 . . . . . 6
322, 31syl 16 . . . . 5
3329ralrimiva 2871 . . . . 5
34 fprodm1.3 . . . . . . 7
3534eleq1d 2526 . . . . . 6
3635rspcv 3206 . . . . 5
3732, 33, 36sylc 60 . . . 4
3834prodsn 13767 . . . 4
392, 37, 38syl2anc 661 . . 3
4039oveq2d 6312 . 2
4130, 40eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  prod_cprod 13712
This theorem is referenced by:  fprodp1  13773  fprodm1s  13774  risefacp1  29151  fallfacp1  29152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713
  Copyright terms: Public domain W3C validator