MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodmul Unicode version

Theorem fprodmul 13765
Description: The product of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1
fprodmul.2
fprodmul.3
Assertion
Ref Expression
fprodmul
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fprodmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1t1e1 10708 . . . . 5
2 prod0 13750 . . . . . 6
3 prod0 13750 . . . . . 6
42, 3oveq12i 6308 . . . . 5
5 prod0 13750 . . . . 5
61, 4, 53eqtr4ri 2497 . . . 4
7 prodeq1 13716 . . . 4
8 prodeq1 13716 . . . . 5
9 prodeq1 13716 . . . . 5
108, 9oveq12d 6314 . . . 4
116, 7, 103eqtr4a 2524 . . 3
1211a1i 11 . 2
13 simprl 756 . . . . . . . . 9
14 nnuz 11145 . . . . . . . . 9
1513, 14syl6eleq 2555 . . . . . . . 8
16 fprodmul.2 . . . . . . . . . . . 12
17 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17fmptd 6055 . . . . . . . . . . 11
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10
20 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
2120ad2antll 728 . . . . . . . . . 10
22 fco 5746 . . . . . . . . . 10
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2423ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
25 fprodmul.3 . . . . . . . . . . . 12
26 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26fmptd 6055 . . . . . . . . . . 11
2827adantr 465 . . . . . . . . . 10
29 fco 5746 . . . . . . . . . 10
3028, 21, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3130ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
3221ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
3416, 25mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . 14
35 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
3733, 34, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
3817fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15
3933, 16, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
4026fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15
4133, 25, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
4239, 41oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13
4337, 42eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
4443ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
46 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . . 12
47 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . . . 13
48 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
49 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . . . 13
5047, 48, 49nfov 6322 . . . . . . . . . . . 12
5146, 50nfeq 2630 . . . . . . . . . . 11
52 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
53 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
54 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
5553, 54oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12
5652, 55eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
5751, 56rspc 3204 . . . . . . . . . 10
5832, 45, 57sylc 60 . . . . . . . . 9
59 fvco3 5950 . . . . . . . . . 10
6021, 59sylan 471 . . . . . . . . 9
61 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11
6221, 61sylan 471 . . . . . . . . . 10
63 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11
6421, 63sylan 471 . . . . . . . . . 10
6562, 64oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
6658, 60, 653eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
6715, 24, 31, 66prodfmul 13699 . . . . . . 7
68 fveq2 5871 . . . . . . . 8
69 simprr 757 . . . . . . . 8
7034, 35fmptd 6055 . . . . . . . . . 10
7170adantr 465 . . . . . . . . 9
7271ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
7368, 13, 69, 72, 60fprod 13748 . . . . . . 7
74 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
7519ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9
7674, 13, 69, 75, 62fprod 13748 . . . . . . . 8
77 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
7828ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9
7977, 13, 69, 78, 64fprod 13748 . . . . . . . 8
8076, 79oveq12d 6314 . . . . . . 7
8167, 73, 803eqtr4d 2508 . . . . . 6
82 prodfc 13752 . . . . . 6
83 prodfc 13752 . . . . . . 7
84 prodfc 13752 . . . . . . 7
8583, 84oveq12i 6308 . . . . . 6
8681, 82, 853eqtr3g 2521 . . . . 5
8786expr 615 . . . 4
8887exlimdv 1724 . . 3
8988expimpd 603 . 2
90 fprodmul.1 . . 3
91 fz1f1o 13532 . . 3
9290, 91syl 16 . 2
9312, 89, 92mpjaod 381 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   c0 3784  e.cmpt 4510  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  1c1 9514   cmul 9518   cn 10561   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405  prod_cprod 13712
This theorem is referenced by:  fprodsplit  13770  risefallfac  29146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713
  Copyright terms: Public domain W3C validator