MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0 Unicode version

Theorem fprodn0 13783
Description: A finite product of non-zero terms is non-zero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1
fprodn0.2
fprodn0.3
Assertion
Ref Expression
fprodn0
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 13716 . . . . 5
2 prod0 13750 . . . . 5
31, 2syl6eq 2514 . . . 4
4 ax-1ne0 9582 . . . . 5
54a1i 11 . . . 4
63, 5eqnetrd 2750 . . 3
76a1i 11 . 2
8 prodfc 13752 . . . . . . 7
9 fveq2 5871 . . . . . . . 8
10 simprl 756 . . . . . . . 8
11 simprr 757 . . . . . . . 8
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11
13 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
1412, 13fmptd 6055 . . . . . . . . . 10
1514adantr 465 . . . . . . . . 9
1615ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
17 f1of 5821 . . . . . . . . . 10
1811, 17syl 16 . . . . . . . . 9
19 fvco3 5950 . . . . . . . . 9
2018, 19sylan 471 . . . . . . . 8
219, 10, 11, 16, 20fprod 13748 . . . . . . 7
228, 21syl5eqr 2512 . . . . . 6
23 nnuz 11145 . . . . . . . 8
2410, 23syl6eleq 2555 . . . . . . 7
25 fco 5746 . . . . . . . . 9
2615, 18, 25syl2anc 661 . . . . . . . 8
2726ffvelrnda 6031 . . . . . . 7
28 fvco3 5950 . . . . . . . . 9
2918, 28sylan 471 . . . . . . . 8
3017ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . 11
3130adantll 713 . . . . . . . . . 10
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
33 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14
34 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15
3734, 36nfim 1920 . . . . . . . . . . . . . 14
38 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14
4112expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14
4233, 37, 40, 41vtoclgaf 3172 . . . . . . . . . . . . 13
4342impcom 430 . . . . . . . . . . . 12
4413fvmpts 5958 . . . . . . . . . . . 12
4532, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
46 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15
4735, 46nfne 2788 . . . . . . . . . . . . . 14
4834, 47nfim 1920 . . . . . . . . . . . . 13
4938neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . 14
5049imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14
5251expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13
5333, 48, 50, 52vtoclgaf 3172 . . . . . . . . . . . 12
5453impcom 430 . . . . . . . . . . 11
5545, 54eqnetrd 2750 . . . . . . . . . 10
5631, 55sylan2 474 . . . . . . . . 9
5756anassrs 648 . . . . . . . 8
5829, 57eqnetrd 2750 . . . . . . 7
5924, 27, 58prodfn0 13703 . . . . . 6
6022, 59eqnetrd 2750 . . . . 5
6160expr 615 . . . 4
6261exlimdv 1724 . . 3
6362expimpd 603 . 2
64 fprodn0.1 . . 3
65 fz1f1o 13532 . . 3
6664, 65syl 16 . 2
677, 63, 66mpjaod 381 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  [_csb 3434   c0 3784  e.cmpt 4510  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cn 10561   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405  prod_cprod 13712
This theorem is referenced by:  fallfacval4  29165  bcc0  31245  mccllem  31605  dvnprodlem2  31744  etransclem15  32032  etransclem25  32042  etransclem31  32048  etransclem32  32049  etransclem33  32050  etransclem34  32051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713
  Copyright terms: Public domain W3C validator