Theorem fprodntriv 13749

Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodntriv.1
fprodntriv.2
fprodntriv.3

Assertion

Ref	Expression
fprodntriv

Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,N   ,   ,,N   ,,,

Proof of Theorem fprodntriv

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodntriv.2	. . . . 5
2		fprodntriv.1	. . . . 5
3	1, 2	syl6eleq 2555	. . . 4
4		peano2uz 11163	. . . 4
5	3, 4	syl 16	. . 3
6	5, 2	syl6eleqr 2556	. 2
7		ax-1ne0 9582	. . 3
8		eqid 2457	. . . 4
9		eluzelz 11119	. . . . . . 7
10	9, 2	eleq2s 2565	. . . . . 6
11	1, 10	syl 16	. . . . 5
12	11	peano2zd 10997	. . . 4
13		seqex 12109	. . . . 5
14	13	a1i 11	. . . 4
15		1cnd 9633	. . . 4
16		simpr 461	. . . . . 6
17		fprodntriv.3	. . . . . . . . . 10
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
19	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . 14
21	19	peano2zd 10997	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	21	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . 14
23		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . 14
26	20	ltp1d 10501	. . . . . . . . . . . . . 14
27		elfzle1 11718	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
29	20, 22, 25, 26, 28	ltletrd 9763	. . . . . . . . . . . . 13
30	20, 25	ltnled 9753	. . . . . . . . . . . . 13
31	29, 30	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12
32	31	intnand 916	. . . . . . . . . . 11
33	32	intnand 916	. . . . . . . . . 10
34		elfz2 11708	. . . . . . . . . 10
35	33, 34	sylnibr 305	. . . . . . . . 9
36	18, 35	ssneldd 3506	. . . . . . . 8
37	36	iffalsed 3952	. . . . . . 7
38		fzssuz 11753	. . . . . . . . . 10
39	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
40		uzss 11130	. . . . . . . . . . . 12
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . . . 11
42	41, 2	syl6sseqr 3550	. . . . . . . . . 10
43	38, 42	syl5ss 3514	. . . . . . . . 9
44	43	sselda 3503	. . . . . . . 8
45		ax-1cn 9571	. . . . . . . . 9
46	37, 45	syl6eqel 2553	. . . . . . . 8
47		nfcv 2619	. . . . . . . . 9
48		nfv 1707	. . . . . . . . . 10
49		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . 10
50		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10
51	48, 49, 50	nfif 3970	. . . . . . . . 9
52		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
53		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . 10
54	52, 53	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . 9
55		eqid 2457	. . . . . . . . 9
56	47, 51, 54, 55	fvmptf 5972	. . . . . . . 8
57	44, 46, 56	syl2anc 661	. . . . . . 7
58		elfzuz 11713	. . . . . . . . 9
59	58	adantl 466	. . . . . . . 8
60		1ex 9612	. . . . . . . . 9
61	60	fvconst2 6126	. . . . . . . 8
62	59, 61	syl 16	. . . . . . 7
63	37, 57, 62	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
64	16, 63	seqfveq 12131	. . . . 5
65	8	prodf1 13700	. . . . . 6
66	65	adantl 466	. . . . 5
67	64, 66	eqtrd 2498	. . . 4
68	8, 12, 14, 15, 67	climconst 13366	. . 3
69		neeq1 2738	. . . . 5
70		breq2 4456	. . . . 5
71	69, 70	anbi12d 710	. . . 4
72	60, 71	spcev 3201	. . 3
73	7, 68, 72	sylancr 663	. 2
74		seqeq1 12110	. . . . . 6
75	74	breq1d 4462	. . . . 5
76	75	anbi2d 703	. . . 4
77	76	exbidv 1714	. . 3
78	77	rspcev 3210	. 2
79	6, 73, 78	syl2anc 661	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307

This theorem is referenced by:  fprodss  13755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311