MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodser Unicode version

Theorem fprodser 13756
Description: A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodser.1
fprodser.2
fprodser.3
Assertion
Ref Expression
fprodser
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,N

Proof of Theorem fprodser
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfc 13752 . 2
2 fveq2 5871 . . . 4
3 fprodser.2 . . . . . . . . 9
4 eluzelz 11119 . . . . . . . . 9
53, 4syl 16 . . . . . . . 8
65zcnd 10995 . . . . . . 7
7 eluzel2 11115 . . . . . . . . 9
83, 7syl 16 . . . . . . . 8
98zcnd 10995 . . . . . . 7
10 1cnd 9633 . . . . . . 7
116, 9, 10subadd23d 9976 . . . . . 6
1211eqcomd 2465 . . . . 5
13 uznn0sub 11141 . . . . . . 7
143, 13syl 16 . . . . . 6
15 nn0p1nn 10860 . . . . . 6
1614, 15syl 16 . . . . 5
1712, 16eqeltrd 2545 . . . 4
1810, 9pncan3d 9957 . . . . . . . . . . 11
196, 10, 9pnpncand 10006 . . . . . . . . . . 11
2018, 19oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
2120eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
2221biimpa 484 . . . . . . . 8
23 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . . 13
2423zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
2524adantl 466 . . . . . . . . . . 11
26 peano2zm 10932 . . . . . . . . . . . . . 14
278, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2827zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
2928adantr 465 . . . . . . . . . . 11
3025, 29npcand 9958 . . . . . . . . . 10
31 simpr 461 . . . . . . . . . 10
3230, 31eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
33 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
34 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
3534eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
3633, 35sbcie 3362 . . . . . . . . 9
3732, 36sylibr 212 . . . . . . . 8
3822, 37syldan 470 . . . . . . 7
3938ralrimiva 2871 . . . . . 6
40 1zzd 10920 . . . . . . 7
4117nnzd 10993 . . . . . . 7
42 fzshftral 11795 . . . . . . 7
4340, 41, 27, 42syl3anc 1228 . . . . . 6
4439, 43mpbird 232 . . . . 5
458adantr 465 . . . . . . . . . . 11
465adantr 465 . . . . . . . . . . 11
4723adantl 466 . . . . . . . . . . 11
4827adantr 465 . . . . . . . . . . 11
49 fzsubel 11748 . . . . . . . . . . 11
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
5131, 50mpbid 210 . . . . . . . . 9
529, 10nncand 9959 . . . . . . . . . . 11
536, 9, 10subsub2d 9983 . . . . . . . . . . 11
5452, 53oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
5554adantr 465 . . . . . . . . 9
5651, 55eleqtrd 2547 . . . . . . . 8
5730eqcomd 2465 . . . . . . . 8
5834eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
5958rspcev 3210 . . . . . . . 8
6056, 57, 59syl2anc 661 . . . . . . 7
61 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . 12
6261zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
63 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . 12
6463zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
6562, 64anim12i 566 . . . . . . . . . 10
66 eqtr2 2484 . . . . . . . . . . 11
67 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
68 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
6928adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
7067, 68, 69addcan2d 9805 . . . . . . . . . . 11
7166, 70syl5ib 219 . . . . . . . . . 10
7265, 71sylan2 474 . . . . . . . . 9
7372ralrimivva 2878 . . . . . . . 8
7473adantr 465 . . . . . . 7
75 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
7675eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
7776reu4 3293 . . . . . . 7
7860, 74, 77sylanbrc 664 . . . . . 6
7978ralrimiva 2871 . . . . 5
80 eqid 2457 . . . . . 6
8180f1ompt 6053 . . . . 5
8244, 79, 81sylanbrc 664 . . . 4
83 fprodser.3 . . . . . 6
84 eqid 2457 . . . . . 6
8583, 84fmptd 6055 . . . . 5
8685ffvelrnda 6031 . . . 4
87 simpr 461 . . . . . . . 8
88 1zzd 10920 . . . . . . . . 9
8941adantr 465 . . . . . . . . 9
9063adantl 466 . . . . . . . . 9
9127adantr 465 . . . . . . . . 9
92 fzaddel 11747 . . . . . . . . 9
9388, 89, 90, 91, 92syl22anc 1229 . . . . . . . 8
9487, 93mpbid 210 . . . . . . 7
9520adantr 465 . . . . . . 7
9694, 95eleqtrd 2547 . . . . . 6
97 fprodser.1 . . . . . . . 8
9897ralrimiva 2871 . . . . . . 7
99 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . 9
10099nfeq2 2636 . . . . . . . 8
101 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
102 csbeq1a 3443 . . . . . . . . 9
103101, 102eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
104100, 103rspc 3204 . . . . . . 7
10598, 104mpan9 469 . . . . . 6
10696, 105syldan 470 . . . . 5
107 f1of 5821 . . . . . . . 8
10882, 107syl 16 . . . . . . 7
109 fvco3 5950 . . . . . . 7
110108, 109sylan 471 . . . . . 6
111 ovex 6324 . . . . . . . . 9
11275, 80, 111fvmpt 5956 . . . . . . . 8
113112adantl 466 . . . . . . 7
114113fveq2d 5875 . . . . . 6
115110, 114eqtrd 2498 . . . . 5
116113fveq2d 5875 . . . . . 6
11783ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
11899nfel1 2635 . . . . . . . . . 10
119102eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
120118, 119rspc 3204 . . . . . . . . 9
121117, 120mpan9 469 . . . . . . . 8
12296, 121syldan 470 . . . . . . 7
12384fvmpts 5958 . . . . . . 7
12496, 122, 123syl2anc 661 . . . . . 6
125116, 124eqtrd 2498 . . . . 5
126106, 115, 1253eqtr4d 2508 . . . 4
1272, 17, 82, 86, 126fprod 13748 . . 3
128 nnuz 11145 . . . . 5
12917, 128syl6eleq 2555 . . . 4
130129, 27, 115seqshft2 12133 . . 3
13118seqeq1d 12113 . . . 4
132131, 19fveq12d 5877 . . 3
133127, 130, 1323eqtrd 2502 . 2
1341, 133syl5eqr 2512 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  [.wsbc 3327  [_csb 3434  e.cmpt 4510  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107  prod_cprod 13712
This theorem is referenced by:  fprodfac  13777  iprodclim3  13793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713
  Copyright terms: Public domain W3C validator