MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodss Unicode version

Theorem fprodss 13755
Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodss.1
fprodss.2
fprodss.3
fprodss.4
Assertion
Ref Expression
fprodss
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fprodss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodss.1 . . 3
2 sseq2 3525 . . . . 5
3 ss0 3816 . . . . 5
42, 3syl6bi 228 . . . 4
5 prodeq1 13716 . . . . . 6
6 prodeq1 13716 . . . . . . 7
76eqcomd 2465 . . . . . 6
85, 7sylan9eq 2518 . . . . 5
98expcom 435 . . . 4
104, 9syld 44 . . 3
111, 10syl5com 30 . 2
12 cnvimass 5362 . . . . . . . . 9
13 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
14 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10
16 fdm 5740 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9
1812, 17syl5sseq 3551 . . . . . . . 8
19 f1ofn 5822 . . . . . . . . . . . . 13
2013, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12
21 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11
2315ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . 13
2423ex 434 . . . . . . . . . . . 12
2524adantrd 468 . . . . . . . . . . 11
2622, 25sylbid 215 . . . . . . . . . 10
2726imp 429 . . . . . . . . 9
28 fprodss.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
31 eldif 3485 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 fprodss.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3432, 33syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15
3531, 34sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . 14
3635expr 615 . . . . . . . . . . . . 13
3730, 36pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . 12
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
39 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
4038, 39fmptd 6055 . . . . . . . . . 10
4140ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9
4227, 41syldan 470 . . . . . . . 8
43 eqid 2457 . . . . . . . . 9
44 simprl 756 . . . . . . . . . 10
45 nnuz 11145 . . . . . . . . . 10
4644, 45syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9
47 ssid 3522 . . . . . . . . . 10
4847a1i 11 . . . . . . . . 9
4943, 46, 48fprodntriv 13749 . . . . . . . 8
50 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . 12
5150, 23sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
52 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . 13
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
5422adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
5550adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
5655biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . 13
5754, 56bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12
5853, 57mtbid 300 . . . . . . . . . . 11
5951, 58eldifd 3486 . . . . . . . . . 10
60 difss 3630 . . . . . . . . . . . . 13
61 resmpt 5328 . . . . . . . . . . . . 13
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
6362fveq1i 5872 . . . . . . . . . . 11
64 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl5eqr 2512 . . . . . . . . . 10
6659, 65syl 16 . . . . . . . . 9
67 1ex 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867elsnc2 4060 . . . . . . . . . . . . . 14
6932, 68sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
70 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13
7169, 70fmptd 6055 . . . . . . . . . . . 12
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
7372, 59ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . 10
74 elsni 4054 . . . . . . . . . 10
7573, 74syl 16 . . . . . . . . 9
7666, 75eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
77 fzssuz 11753 . . . . . . . . 9
7877a1i 11 . . . . . . . 8
7918, 42, 49, 76, 78prodss 13754 . . . . . . 7
801adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8180resmptd 5330 . . . . . . . . . . 11
8281fveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
83 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
8482, 83sylan9req 2519 . . . . . . . . 9
8584prodeq2dv 13730 . . . . . . . 8
86 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
87 fzfid 12083 . . . . . . . . . 10
8887, 15fisuppfi 7857 . . . . . . . . 9
89 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . 12
9013, 89syl 16 . . . . . . . . . . 11
91 f1ores 5835 . . . . . . . . . . 11
9290, 18, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
93 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . 13
9413, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12
95 foimacnv 5838 . . . . . . . . . . . 12
9694, 80, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
97 f1oeq3 5814 . . . . . . . . . . 11
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . 10
9992, 98mpbid 210 . . . . . . . . 9
100 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
101100adantl 466 . . . . . . . . 9
10280sselda 3503 . . . . . . . . . 10
10340ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
104102, 103syldan 470 . . . . . . . . 9
10586, 88, 99, 101, 104fprodf1o 13753 . . . . . . . 8
10685, 105eqtrd 2498 . . . . . . 7
107 eqidd 2458 . . . . . . . 8
10886, 87, 13, 107, 103fprodf1o 13753 . . . . . . 7
10979, 106, 1083eqtr4d 2508 . . . . . 6
110 prodfc 13752 . . . . . 6
111 prodfc 13752 . . . . . 6
112109, 110, 1113eqtr3g 2521 . . . . 5
113112expr 615 . . . 4
114113exlimdv 1724 . . 3
115114expimpd 603 . 2
116 fprodss.4 . . 3
117 fz1f1o 13532 . . 3
118116, 117syl 16 . 2
11911, 115, 118mpjaod 381 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  1c1 9514   cn 10561   cuz 11110   cfz 11701   chash 12405  prod_cprod 13712
This theorem is referenced by:  fprodsplit  13770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713
  Copyright terms: Public domain W3C validator