MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwwe Unicode version

Theorem fpwwe 9045
Description: Given any function from the powerset of to , canth2 7690 gives that the function is not injective, but we can say rather more than that. There is a unique well-ordered subset which "agrees" with in the sense that each initial segment maps to its upper bound, and such that the entire set maps to an element of the set (so that it cannot be extended without losing the well-ordering). This theorem can be used to prove dfac8a 8432. Theorem 1.1 of [KanamoriPincus] p. 415. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe.1
fpwwe.2
fpwwe.3
fpwwe.4
Assertion
Ref Expression
fpwwe
Distinct variable groups:   , ,   , , ,   , , ,   , , ,   , , ,   , , ,   , , ,

Proof of Theorem fpwwe
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6299 . . . . . 6
2 fo1st 6820 . . . . . . . 8
3 fofn 5802 . . . . . . . 8
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7
5 opex 4716 . . . . . . 7
6 fvco2 5948 . . . . . . 7
74, 5, 6mp2an 672 . . . . . 6
81, 7eqtri 2486 . . . . 5
9 fpwwe.1 . . . . . . . 8
109bropaex12 5078 . . . . . . 7
11 op1stg 6812 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6
1312fveq2d 5875 . . . . 5
148, 13syl5eq 2510 . . . 4
1514eleq1d 2526 . . 3
1615pm5.32i 637 . 2
17 vex 3112 . . . . . . . . . 10
18 cnvexg 6746 . . . . . . . . . 10
19 imaexg 6737 . . . . . . . . . 10
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . 9
21 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
2217inex1 4593 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22algrflem 6909 . . . . . . . . . . 11
24 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
2523, 24syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
2625eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
2720, 26sbcie 3362 . . . . . . . 8
2827ralbii 2888 . . . . . . 7
2928anbi2i 694 . . . . . 6
3029anbi2i 694 . . . . 5
3130opabbii 4516 . . . 4
329, 31eqtr4i 2489 . . 3
33 fpwwe.2 . . 3
34 vex 3112 . . . . 5
3534, 17algrflem 6909 . . . 4
36 simp1 996 . . . . . . 7
37 selpw 4019 . . . . . . 7
3836, 37sylibr 212 . . . . . 6
39 19.8a 1857 . . . . . . . 8
40393ad2ant3 1019 . . . . . . 7
41 ween 8437 . . . . . . 7
4240, 41sylibr 212 . . . . . 6
4338, 42elind 3687 . . . . 5
44 fpwwe.3 . . . . 5
4543, 44sylan2 474 . . . 4
4635, 45syl5eqel 2549 . . 3
47 fpwwe.4 . . 3
4832, 33, 46, 47fpwwe2 9042 . 2
4916, 48syl5bbr 259 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [.wsbc 3327  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  Wewwe 4842  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  canth4  9046  canthnumlem  9047  canthp1lem2  9052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-1st 6800  df-recs 7061  df-en 7537  df-oi 7956  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator