Theorem fpwwe2lem6 9034

Description: Lemma for fpwwe2 9042. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwwe2.1
fpwwe2.2
fpwwe2.3
fpwwe2lem9.x
fpwwe2lem9.y
fpwwe2lem9.m
fpwwe2lem9.n
fpwwe2lem7.1
fpwwe2lem7.2
fpwwe2lem7.3

Assertion

Ref	Expression
fpwwe2lem6

Distinct variable groups:   ,,   ,,,,   ,,,,   M,,,,   N,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   S,,,,   ,,,,

Proof of Theorem fpwwe2lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwwe2lem9.x	. . . . . . . 8
2		fpwwe2.1	. . . . . . . . 9
3		fpwwe2.2	. . . . . . . . 9
4	2, 3	fpwwe2lem2 9031	. . . . . . . 8
5	1, 4	mpbid 210	. . . . . . 7
6	5	simpld 459	. . . . . 6
7	6	simprd 463	. . . . 5
8	7	ssbrd 4493	. . . 4
9		brxp 5035	. . . . 5
10	9	simplbi 460	. . . 4
11	8, 10	syl6 33	. . 3
12	11	imp 429	. 2
13		imassrn 5353	. . . 4
14		fpwwe2lem9.y	. . . . . . . . 9
15	2	relopabi 5133	. . . . . . . . . 10
16	15	brrelexi 5045	. . . . . . . . 9
17	14, 16	syl 16	. . . . . . . 8
18	2, 3	fpwwe2lem2 9031	. . . . . . . . . . 11
19	14, 18	mpbid 210	. . . . . . . . . 10
20	19	simprd 463	. . . . . . . . 9
21	20	simpld 459	. . . . . . . 8
22		fpwwe2lem9.n	. . . . . . . . 9
23	22	oiiso 7983	. . . . . . . 8
24	17, 21, 23	syl2anc 661	. . . . . . 7
25	24	adantr 465	. . . . . 6
26		isof1o 6221	. . . . . 6
27	25, 26	syl 16	. . . . 5
28		f1ofo 5828	. . . . 5
29		forn 5803	. . . . 5
30	27, 28, 29	3syl 20	. . . 4
31	13, 30	syl5sseq 3551	. . 3
32	15	brrelexi 5045	. . . . . . . . . . . . . 14
33	1, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
34	5	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14
35	34	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13
36		fpwwe2lem9.m	. . . . . . . . . . . . . 14
37	36	oiiso 7983	. . . . . . . . . . . . 13
38	33, 35, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
40		isof1o 6221	. . . . . . . . . . 11
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . . 10
42		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . . 10
43	41, 12, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
44		simpr 461	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqbrtrd 4472	. . . . . . . 8
46		f1ocnv 5833	. . . . . . . . . . 11
47		f1of 5821	. . . . . . . . . . 11
48	41, 46, 47	3syl 20	. . . . . . . . . 10
49	48, 12	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . 9
50		fpwwe2lem7.1	. . . . . . . . . 10
51	50	adantr 465	. . . . . . . . 9
52		isorel 6222	. . . . . . . . 9
53	39, 49, 51, 52	syl12anc 1226	. . . . . . . 8
54	45, 53	mpbird 232	. . . . . . 7
55		epelg 4797	. . . . . . . 8
56	51, 55	syl 16	. . . . . . 7
57	54, 56	mpbid 210	. . . . . 6
58		ffn 5736	. . . . . . 7
59		elpreima 6007	. . . . . . 7
60	48, 58, 59	3syl 20	. . . . . 6
61	12, 57, 60	mpbir2and 922	. . . . 5
62		imacnvcnv 5477	. . . . 5
63	61, 62	syl6eleq 2555	. . . 4
64		fpwwe2lem7.3	. . . . . . 7
65	64	adantr 465	. . . . . 6
66	65	rneqd 5235	. . . . 5
67		df-ima 5017	. . . . 5
68		df-ima 5017	. . . . 5
69	66, 67, 68	3eqtr4g 2523	. . . 4
70	63, 69	eleqtrd 2547	. . 3
71	31, 70	sseldd 3504	. 2
72	65	cnveqd 5183	. . . . 5
73		dff1o3 5827	. . . . . . 7
74	73	simprbi 464	. . . . . 6
75		funcnvres 5662	. . . . . 6
76	41, 74, 75	3syl 20	. . . . 5
77		dff1o3 5827	. . . . . . 7
78	77	simprbi 464	. . . . . 6
79		funcnvres 5662	. . . . . 6
80	27, 78, 79	3syl 20	. . . . 5
81	72, 76, 80	3eqtr3d 2506	. . . 4
82	81	fveq1d 5873	. . 3
83		fvres 5885	. . . 4
84	63, 83	syl 16	. . 3
85		fvres 5885	. . . 4
86	70, 85	syl 16	. . 3
87	82, 84, 86	3eqtr3d 2506	. 2
88	12, 71, 87	3jca 1176	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  [.wsbc 3327  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  {copab 4509  cep 4794  Wewwe 4842  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  OrdIsocoi 7955

This theorem is referenced by:  fpwwe2lem7  9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-recs 7061  df-oi 7956