MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwwe2lem6 Unicode version

Theorem fpwwe2lem6 9034
Description: Lemma for fpwwe2 9042. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1
fpwwe2.2
fpwwe2.3
fpwwe2lem9.x
fpwwe2lem9.y
fpwwe2lem9.m
fpwwe2lem9.n
fpwwe2lem7.1
fpwwe2lem7.2
fpwwe2lem7.3
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem6
Distinct variable groups:   , ,   , , , ,   , , , ,   M, , , ,   N, , , ,   , , , ,   , ,   , , , ,   , , , ,   S, , , ,   , , , ,

Proof of Theorem fpwwe2lem6
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.x . . . . . . . 8
2 fpwwe2.1 . . . . . . . . 9
3 fpwwe2.2 . . . . . . . . 9
42, 3fpwwe2lem2 9031 . . . . . . . 8
51, 4mpbid 210 . . . . . . 7
65simpld 459 . . . . . 6
76simprd 463 . . . . 5
87ssbrd 4493 . . . 4
9 brxp 5035 . . . . 5
109simplbi 460 . . . 4
118, 10syl6 33 . . 3
1211imp 429 . 2
13 imassrn 5353 . . . 4
14 fpwwe2lem9.y . . . . . . . . 9
152relopabi 5133 . . . . . . . . . 10
1615brrelexi 5045 . . . . . . . . 9
1714, 16syl 16 . . . . . . . 8
182, 3fpwwe2lem2 9031 . . . . . . . . . . 11
1914, 18mpbid 210 . . . . . . . . . 10
2019simprd 463 . . . . . . . . 9
2120simpld 459 . . . . . . . 8
22 fpwwe2lem9.n . . . . . . . . 9
2322oiiso 7983 . . . . . . . 8
2417, 21, 23syl2anc 661 . . . . . . 7
2524adantr 465 . . . . . 6
26 isof1o 6221 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 f1ofo 5828 . . . . 5
29 forn 5803 . . . . 5
3027, 28, 293syl 20 . . . 4
3113, 30syl5sseq 3551 . . 3
3215brrelexi 5045 . . . . . . . . . . . . . 14
331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
345simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14
3534simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
36 fpwwe2lem9.m . . . . . . . . . . . . . 14
3736oiiso 7983 . . . . . . . . . . . . 13
3833, 35, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
3938adantr 465 . . . . . . . . . . 11
40 isof1o 6221 . . . . . . . . . . 11
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . 10
42 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . 10
4341, 12, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9
44 simpr 461 . . . . . . . . 9
4543, 44eqbrtrd 4472 . . . . . . . 8
46 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . 11
47 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
4841, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . 10
4948, 12ffvelrnd 6032 . . . . . . . . 9
50 fpwwe2lem7.1 . . . . . . . . . 10
5150adantr 465 . . . . . . . . 9
52 isorel 6222 . . . . . . . . 9
5339, 49, 51, 52syl12anc 1226 . . . . . . . 8
5445, 53mpbird 232 . . . . . . 7
55 epelg 4797 . . . . . . . 8
5651, 55syl 16 . . . . . . 7
5754, 56mpbid 210 . . . . . 6
58 ffn 5736 . . . . . . 7
59 elpreima 6007 . . . . . . 7
6048, 58, 593syl 20 . . . . . 6
6112, 57, 60mpbir2and 922 . . . . 5
62 imacnvcnv 5477 . . . . 5
6361, 62syl6eleq 2555 . . . 4
64 fpwwe2lem7.3 . . . . . . 7
6564adantr 465 . . . . . 6
6665rneqd 5235 . . . . 5
67 df-ima 5017 . . . . 5
68 df-ima 5017 . . . . 5
6966, 67, 683eqtr4g 2523 . . . 4
7063, 69eleqtrd 2547 . . 3
7131, 70sseldd 3504 . 2
7265cnveqd 5183 . . . . 5
73 dff1o3 5827 . . . . . . 7
7473simprbi 464 . . . . . 6
75 funcnvres 5662 . . . . . 6
7641, 74, 753syl 20 . . . . 5
77 dff1o3 5827 . . . . . . 7
7877simprbi 464 . . . . . 6
79 funcnvres 5662 . . . . . 6
8027, 78, 793syl 20 . . . . 5
8172, 76, 803eqtr3d 2506 . . . 4
8281fveq1d 5873 . . 3
83 fvres 5885 . . . 4
8463, 83syl 16 . . 3
85 fvres 5885 . . . 4
8670, 85syl 16 . . 3
8782, 84, 863eqtr3d 2506 . 2
8812, 71, 873jca 1176 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [.wsbc 3327  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  {copab 4509   cep 4794  Wewwe 4842  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  OrdIsocoi 7955
This theorem is referenced by:  fpwwe2lem7  9035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-recs 7061  df-oi 7956
  Copyright terms: Public domain W3C validator