MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwwe2lem7 Unicode version

Theorem fpwwe2lem7 9035
Description: Lemma for fpwwe2 9042. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1
fpwwe2.2
fpwwe2.3
fpwwe2lem9.x
fpwwe2lem9.y
fpwwe2lem9.m
fpwwe2lem9.n
fpwwe2lem7.1
fpwwe2lem7.2
fpwwe2lem7.3
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem7
Distinct variable groups:   , ,   , , , ,   , , , ,   M, , , ,   N, , , ,   , , , ,   , ,   , , , ,   , , , ,   S, , , ,   , , , ,

Proof of Theorem fpwwe2lem7
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.y . . . . . . . 8
2 fpwwe2.1 . . . . . . . . . 10
32relopabi 5133 . . . . . . . . 9
43brrelexi 5045 . . . . . . . 8
51, 4syl 16 . . . . . . 7
6 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . 11
72, 6fpwwe2lem2 9031 . . . . . . . . . 10
81, 7mpbid 210 . . . . . . . . 9
98simprd 463 . . . . . . . 8
109simpld 459 . . . . . . 7
11 fpwwe2lem9.n . . . . . . . 8
1211oiiso 7983 . . . . . . 7
135, 10, 12syl2anc 661 . . . . . 6
1413adantr 465 . . . . 5
15 isof1o 6221 . . . . 5
1614, 15syl 16 . . . 4
17 fpwwe2.3 . . . . . 6
18 fpwwe2lem9.x . . . . . 6
19 fpwwe2lem9.m . . . . . 6
20 fpwwe2lem7.1 . . . . . 6
21 fpwwe2lem7.2 . . . . . 6
22 fpwwe2lem7.3 . . . . . 6
232, 6, 17, 18, 1, 19, 11, 20, 21, 22fpwwe2lem6 9034 . . . . 5
2423simp2d 1009 . . . 4
25 f1ocnvfv2 6183 . . . 4
2616, 24, 25syl2anc 661 . . 3
2723simp3d 1010 . . . . 5
283brrelexi 5045 . . . . . . . . . . . 12
2918, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11
302, 6fpwwe2lem2 9031 . . . . . . . . . . . . . 14
3118, 30mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
3231simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
3332simpld 459 . . . . . . . . . . 11
3419oiiso 7983 . . . . . . . . . . 11
3529, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
3635adantr 465 . . . . . . . . 9
37 isof1o 6221 . . . . . . . . 9
3836, 37syl 16 . . . . . . . 8
3923simp1d 1008 . . . . . . . 8
40 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . 8
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . 7
42 simpr 461 . . . . . . 7
4341, 42eqbrtrd 4472 . . . . . 6
44 f1ocnv 5833 . . . . . . . . 9
45 f1of 5821 . . . . . . . . 9
4638, 44, 453syl 20 . . . . . . . 8
4746, 39ffvelrnd 6032 . . . . . . 7
4820adantr 465 . . . . . . 7
49 isorel 6222 . . . . . . 7
5036, 47, 48, 49syl12anc 1226 . . . . . 6
5143, 50mpbird 232 . . . . 5
5227, 51eqbrtrrd 4474 . . . 4
53 f1ocnv 5833 . . . . . . 7
54 f1of 5821 . . . . . . 7
5516, 53, 543syl 20 . . . . . 6
5655, 24ffvelrnd 6032 . . . . 5
5721adantr 465 . . . . 5
58 isorel 6222 . . . . 5
5914, 56, 57, 58syl12anc 1226 . . . 4
6052, 59mpbid 210 . . 3
6126, 60eqbrtrrd 4474 . 2
6227adantrr 716 . . . . 5
632, 6, 17, 18, 1, 19, 11, 20, 21, 22fpwwe2lem6 9034 . . . . . . 7
6463simp3d 1010 . . . . . 6
6564adantrl 715 . . . . 5
6662, 65breq12d 4465 . . . 4
6735adantr 465 . . . . . 6
68 isocnv 6226 . . . . . 6
6967, 68syl 16 . . . . 5
7039adantrr 716 . . . . 5
7131simpld 459 . . . . . . . . . 10
7271simprd 463 . . . . . . . . 9
7372ssbrd 4493 . . . . . . . 8
7473imp 429 . . . . . . 7
75 brxp 5035 . . . . . . . 8
7675simplbi 460 . . . . . . 7
7774, 76syl 16 . . . . . 6
7877adantrl 715 . . . . 5
79 isorel 6222 . . . . 5
8069, 70, 78, 79syl12anc 1226 . . . 4
8113adantr 465 . . . . . 6
82 isocnv 6226 . . . . . 6
8381, 82syl 16 . . . . 5
8424adantrr 716 . . . . 5
8563simp2d 1009 . . . . . 6
8685adantrl 715 . . . . 5
87 isorel 6222 . . . . 5
8883, 84, 86, 87syl12anc 1226 . . . 4
8966, 80, 883bitr4d 285 . . 3
9089expr 615 . 2
9161, 90jca 532 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [.wsbc 3327  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  {copab 4509   cep 4794  Wewwe 4842  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  OrdIsocoi 7955
This theorem is referenced by:  fpwwe2lem8  9036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-recs 7061  df-oi 7956
  Copyright terms: Public domain W3C validator