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Theorem fpwwe2lem8 9036
Description: Lemma for fpwwe2 9042. Show by induction that the two isometries and agree on their common domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1
fpwwe2.2
fpwwe2.3
fpwwe2lem9.x
fpwwe2lem9.y
fpwwe2lem9.m
fpwwe2lem9.n
fpwwe2lem9.s
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem8
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , ,   M, , , ,   N, , , ,   , , , ,   , ,   , , , ,   , , , ,   S, , , ,   , , , ,

Proof of Theorem fpwwe2lem8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.m . . . 4
21oif 7976 . . 3
3 ffn 5736 . . 3
42, 3mp1i 12 . 2
5 fpwwe2lem9.n . . . . 5
65oif 7976 . . . 4
7 ffn 5736 . . . 4
86, 7mp1i 12 . . 3
9 fpwwe2lem9.s . . 3
10 fnssres 5699 . . 3
118, 9, 10syl2anc 661 . 2
121oicl 7975 . . . . . 6
13 ordelon 4907 . . . . . 6
1412, 13mpan 670 . . . . 5
15 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
16 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
17 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
1816, 17eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
1915, 18imbi12d 320 . . . . . . . 8
2019imbi2d 316 . . . . . . 7
21 r19.21v 2862 . . . . . . . . 9
2212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2422, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . 15
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
2827ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . 13
294adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 fnssres 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3129, 24, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
328adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
339adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3424, 33sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
35 fnssres 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3632, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 eqfnfv 5981 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3831, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
40 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4139, 40eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241ralbiia 2887 . . . . . . . . . . . . . . 15
4338, 42syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14
44 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
45 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
47 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
48 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4947, 48sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
50 fpwwe2lem9.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52 fpwwe2lem9.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
559sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5844, 46, 49, 51, 53, 1, 5, 54, 56, 57fpwwe2lem7 9035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6057eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6144, 46, 49, 53, 51, 5, 1, 56, 54, 60fpwwe2lem7 9035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6261simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6359, 62impbida 832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665eliniseg 5371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6764, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6965eliniseg 5371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7163, 67, 703bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271eqrdv 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74 relxp 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75 relss 5095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7673, 74, 75mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
77 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78 relss 5095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7977, 74, 78mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8180eliniseg 5371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8266, 81anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8364, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8458simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8584impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8683, 85sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8786pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
88 brinxp2 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
89 df-br 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
90 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9188, 89, 903bitr3i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92 brinxp2 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
93 df-br 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
94 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9592, 93, 943bitr3i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9687, 91, 953bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9776, 79, 96eqrelrdv 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9872sqxpeqd 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9998ineq2d 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10097, 99eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10172, 100oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1022ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10544, 45, 50fpwwe2lem3 9032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10647, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1076ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10855, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11044, 45, 52fpwwe2lem3 9032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11147, 109, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112101, 106, 1113eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
11443, 113sylbird 235 . . . . . . . . . . . . 13
11528, 114syld 44 . . . . . . . . . . . 12
116115ex 434 . . . . . . . . . . 11
117116com23 78 . . . . . . . . . 10
118117a2i 13 . . . . . . . . 9
11921, 118sylbi 195 . . . . . . . 8
120119a1i 11 . . . . . . 7
12120, 120tfis2 6691 . . . . . 6
122121com3l 81 . . . . 5
12314, 122mpdi 42 . . . 4
124123imp 429 . . 3
125 fvres 5885 . . . 4
126125adantl 466 . . 3
127124, 126eqtr4d 2501 . 2
1284, 11, 127eqfnfvd 5984 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [.wsbc 3327  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  OrdIsocoi 7955
This theorem is referenced by:  fpwwe2lem9  9037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-recs 7061  df-oi 7956
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