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Theorem fpwwe2lem9 9037
 Description: Lemma for fpwwe2 9042. Given two well-orders and of parts of , one is an initial segment of the other. (The hypothesis is in order to break the symmetry of and .) (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1
fpwwe2.2
fpwwe2.3
fpwwe2lem9.x
fpwwe2lem9.y
fpwwe2lem9.m
fpwwe2lem9.n
fpwwe2lem9.s
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem9
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   M,,,,   N,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   S,,,,   ,,,,

Proof of Theorem fpwwe2lem9
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.x . . . . . . . . 9
2 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . 11
32relopabi 5133 . . . . . . . . . 10
43brrelexi 5045 . . . . . . . . 9
51, 4syl 16 . . . . . . . 8
6 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . 12
72, 6fpwwe2lem2 9031 . . . . . . . . . . 11
81, 7mpbid 210 . . . . . . . . . 10
98simprd 463 . . . . . . . . 9
109simpld 459 . . . . . . . 8
11 fpwwe2lem9.m . . . . . . . . 9
1211oiiso 7983 . . . . . . . 8
135, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . 7
14 isof1o 6221 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
16 f1ofo 5828 . . . . . 6
17 forn 5803 . . . . . 6
1815, 16, 173syl 20 . . . . 5
19 fpwwe2.3 . . . . . . 7
20 fpwwe2lem9.y . . . . . . 7
21 fpwwe2lem9.n . . . . . . 7
22 fpwwe2lem9.s . . . . . . 7
232, 6, 19, 1, 20, 11, 21, 22fpwwe2lem8 9036 . . . . . 6
2423rneqd 5235 . . . . 5
2518, 24eqtr3d 2500 . . . 4
26 df-ima 5017 . . . 4
2725, 26syl6eqr 2516 . . 3
28 imassrn 5353 . . . 4
293brrelexi 5045 . . . . . . . 8
3020, 29syl 16 . . . . . . 7
312, 6fpwwe2lem2 9031 . . . . . . . . . 10
3220, 31mpbid 210 . . . . . . . . 9
3332simprd 463 . . . . . . . 8
3433simpld 459 . . . . . . 7
3521oiiso 7983 . . . . . . 7
3630, 34, 35syl2anc 661 . . . . . 6
37 isof1o 6221 . . . . . 6
3836, 37syl 16 . . . . 5
39 f1ofo 5828 . . . . 5
40 forn 5803 . . . . 5
4138, 39, 403syl 20 . . . 4
4228, 41syl5sseq 3551 . . 3
4327, 42eqsstrd 3537 . 2
448simpld 459 . . . . . 6
4544simprd 463 . . . . 5
46 relxp 5115 . . . . 5
47 relss 5095 . . . . 5
4845, 46, 47mpisyl 18 . . . 4
49 inss2 3718 . . . . 5
50 relxp 5115 . . . . 5
51 relss 5095 . . . . 5
5249, 50, 51mp2 9 . . . 4
5348, 52jctir 538 . . 3
5445ssbrd 4493 . . . . . . 7
55 brxp 5035 . . . . . . 7
5654, 55syl6ib 226 . . . . . 6
57 brinxp2 5066 . . . . . . . 8
58 df-3an 975 . . . . . . . 8
5957, 58bitri 249 . . . . . . 7
60 simprll 763 . . . . . . . . . . 11
61 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14
62 isocnv 6226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6336, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6543adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 isorel 6222 . . . . . . . . . . . . . . 15
6964, 60, 67, 68syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14
7061, 69mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
71 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
7271epelc 4798 . . . . . . . . . . . . 13
7370, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
7423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574cnveqd 5183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 isof1o 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77 f1ofn 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7864, 76, 773syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 funcnvres 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8178, 79, 803syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8275, 81eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14
8427adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8566, 84eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8883, 87eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
89 isocnv 6226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9013, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 isof1o 6221 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9390, 91, 923syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
9594, 66ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . 13
9688, 95eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . 12
9711oicl 7975 . . . . . . . . . . . . 13
98 ordtr1 4926 . . . . . . . . . . . . 13
9997, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
10073, 96, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
101 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . 12
10278, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11
10360, 100, 102mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10
104 imacnvcnv 5477 . . . . . . . . . . 11
10584, 104syl6eqr 2516 . . . . . . . . . 10
106103, 105eleqtrrd 2548 . . . . . . . . 9
107106, 66jca 532 . . . . . . . 8
108107ex 434 . . . . . . 7
10959, 108syl5bi 217 . . . . . 6
11023adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
111110cnveqd 5183 . . . . . . . . . . 11
112111fveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
113111fveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
114112, 113breq12d 4465 . . . . . . . . 9
115 isorel 6222 . . . . . . . . . 10
11690, 115sylan 471 . . . . . . . . 9
117 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . 13
118 isores3 6231 . . . . . . . . . . . . 13
11936, 22, 117, 118syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
120 isocnv 6226 . . . . . . . . . . . 12
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11
122121adantr 465 . . . . . . . . . 10
123 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
12427adantr 465 . . . . . . . . . . 11
125123, 124eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10
126 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
127126, 124eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10
128 isorel 6222 . . . . . . . . . 10
129122, 125, 127, 128syl12anc 1226 . . . . . . . . 9
130114, 116, 1293bitr4d 285 . . . . . . . 8
13143sselda 3503 . . . . . . . . . . . 12
132131adantrr 716 . . . . . . . . . . 11
133132, 126jca 532 . . . . . . . . . 10
134133biantrurd 508 . . . . . . . . 9
135134, 59syl6bbr 263 . . . . . . . 8
136130, 135bitrd 253 . . . . . . 7
137136ex 434 . . . . . 6
13856, 109, 137pm5.21ndd 354 . . . . 5
139 df-br 4453 . . . . 5
140 df-br 4453 . . . . 5
141138, 139, 1403bitr3g 287 . . . 4
142141eqrelrdv2 5107 . . 3
14353, 142mpancom 669 . 2
14443, 143jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [.wsbc 3327  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509   cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882  X.cxp 5002  'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |cres 5006  "cima 5007  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  OrdIso`coi 7955 This theorem is referenced by:  fpwwe2lem10  9038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-recs 7061  df-oi 7956
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