Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr3nr Unicode version

Theorem fr3nr 6615
 Description: A well-founded relation has no 3-cycle loops. Special case of Proposition 6.23 of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fr3nr

Proof of Theorem fr3nr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpex 6599 . . . . . . 7
21a1i 11 . . . . . 6
3 simpl 457 . . . . . 6
4 df-tp 4034 . . . . . . 7
5 simpr1 1002 . . . . . . . . 9
6 simpr2 1003 . . . . . . . . 9
7 prssi 4186 . . . . . . . . 9
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . . 8
9 simpr3 1004 . . . . . . . . 9
109snssd 4175 . . . . . . . 8
118, 10unssd 3679 . . . . . . 7
124, 11syl5eqss 3547 . . . . . 6
135tpnzd 4152 . . . . . 6
14 fri 4846 . . . . . 6
152, 3, 12, 13, 14syl22anc 1229 . . . . 5
16 breq2 4456 . . . . . . . . 9
1716notbid 294 . . . . . . . 8
1817ralbidv 2896 . . . . . . 7
19 breq2 4456 . . . . . . . . 9
2019notbid 294 . . . . . . . 8
2120ralbidv 2896 . . . . . . 7
22 breq2 4456 . . . . . . . . 9
2322notbid 294 . . . . . . . 8
2423ralbidv 2896 . . . . . . 7
2518, 21, 24rextpg 4081 . . . . . 6
2625adantl 466 . . . . 5
2715, 26mpbid 210 . . . 4
28 snsstp3 4183 . . . . . . 7
29 snssg 4163 . . . . . . . 8
309, 29syl 16 . . . . . . 7
3128, 30mpbiri 233 . . . . . 6
32 breq1 4455 . . . . . . . 8
3332notbid 294 . . . . . . 7
3433rspcv 3206 . . . . . 6
3531, 34syl 16 . . . . 5
36 snsstp1 4181 . . . . . . 7
37 snssg 4163 . . . . . . . 8
385, 37syl 16 . . . . . . 7
3936, 38mpbiri 233 . . . . . 6
40 breq1 4455 . . . . . . . 8
4140notbid 294 . . . . . . 7
4241rspcv 3206 . . . . . 6
4339, 42syl 16 . . . . 5
44 snsstp2 4182 . . . . . . 7
45 snssg 4163 . . . . . . . 8
466, 45syl 16 . . . . . . 7
4744, 46mpbiri 233 . . . . . 6
48 breq1 4455 . . . . . . . 8
4948notbid 294 . . . . . . 7
5049rspcv 3206 . . . . . 6
5147, 50syl 16 . . . . 5
5235, 43, 513orim123d 1307 . . . 4
5327, 52mpd 15 . . 3
54 3ianor 990 . . 3
5553, 54sylibr 212 . 2
56 3anrot 978 . 2
5755, 56sylnib 304 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  {ctp 4033   class class class wbr 4452  Frwfr 4840 This theorem is referenced by:  epne3  6616  dfwe2  6617 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-fr 4843
 Copyright terms: Public domain W3C validator