MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fresaun Unicode version

Theorem fresaun 5761
Description: The union of two functions which agree on their common domain is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fresaun

Proof of Theorem fresaun
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4
2 inss1 3717 . . . 4
3 fssres 5756 . . . 4
41, 2, 3sylancl 662 . . 3
5 difss 3630 . . . . 5
6 fssres 5756 . . . . 5
71, 5, 6sylancl 662 . . . 4
8 simp2 997 . . . . 5
9 difss 3630 . . . . 5
10 fssres 5756 . . . . 5
118, 9, 10sylancl 662 . . . 4
12 indifdir 3753 . . . . . 6
13 disjdif 3900 . . . . . . 7
1413difeq1i 3617 . . . . . 6
15 0dif 3899 . . . . . 6
1612, 14, 153eqtri 2490 . . . . 5
1716a1i 11 . . . 4
18 fun2 5754 . . . 4
197, 11, 17, 18syl21anc 1227 . . 3
20 indi 3743 . . . . 5
21 inass 3707 . . . . . . 7
22 disjdif 3900 . . . . . . . 8
2322ineq2i 3696 . . . . . . 7
24 in0 3811 . . . . . . 7
2521, 23, 243eqtri 2490 . . . . . 6
26 incom 3690 . . . . . . . 8
2726ineq1i 3695 . . . . . . 7
28 inass 3707 . . . . . . . 8
2913ineq2i 3696 . . . . . . . 8
30 in0 3811 . . . . . . . 8
3128, 29, 303eqtri 2490 . . . . . . 7
3227, 31eqtri 2486 . . . . . 6
3325, 32uneq12i 3655 . . . . 5
34 un0 3810 . . . . 5
3520, 33, 343eqtri 2490 . . . 4
3635a1i 11 . . 3
37 fun2 5754 . . 3
384, 19, 36, 37syl21anc 1227 . 2
39 ffn 5736 . . . . 5
40 ffn 5736 . . . . 5
41 id 22 . . . . 5
42 resasplit 5760 . . . . 5
4339, 40, 41, 42syl3an 1270 . . . 4
4443feq1d 5722 . . 3
45 un12 3661 . . . . 5
4626uneq1i 3653 . . . . . . 7
47 inundif 3906 . . . . . . 7
4846, 47eqtri 2486 . . . . . 6
4948uneq2i 3654 . . . . 5
50 undif1 3903 . . . . 5
5145, 49, 503eqtri 2490 . . . 4
5251feq2i 5729 . . 3
5344, 52syl6rbbr 264 . 2
5438, 53mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\w3a 973  =wceq 1395  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589
This theorem is referenced by:  cvmliftlem10  28739  elmapresaun  30704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597
  Copyright terms: Public domain W3C validator