Theorem fresaunres2 5762

Description: From the union of two functions that agree on the domain overlap, either component can be recovered by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fresaunres2

Proof of Theorem fresaunres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5736	. . . 4
2		ffn 5736	. . . 4
3		id 22	. . . 4
4		resasplit 5760	. . . 4
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1270	. . 3
6	5	reseq1d 5277	. 2
7		resundir 5293	. . 3
8		inss2 3718	. . . . . 6
9		resabs2 5309	. . . . . 6
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5
11		resundir 5293	. . . . 5
12	10, 11	uneq12i 3655	. . . 4
13		dmres 5299	. . . . . . . . 9
14		dmres 5299	. . . . . . . . . . 11
15	14	ineq2i 3696	. . . . . . . . . 10
16		disjdif 3900	. . . . . . . . . . . 12
17	16	ineq1i 3695	. . . . . . . . . . 11
18		inass 3707	. . . . . . . . . . 11
19		inss1 3717	. . . . . . . . . . . 12
20		0ss 3814	. . . . . . . . . . . 12
21	19, 20	eqssi 3519	. . . . . . . . . . 11
22	17, 18, 21	3eqtr3i 2494	. . . . . . . . . 10
23	15, 22	eqtri 2486	. . . . . . . . 9
24	13, 23	eqtri 2486	. . . . . . . 8
25		relres 5306	. . . . . . . . 9
26		reldm0 5225	. . . . . . . . 9
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8
28	24, 27	mpbir 209	. . . . . . 7
29		difss 3630	. . . . . . . 8
30		resabs2 5309	. . . . . . . 8
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7
32	28, 31	uneq12i 3655	. . . . . 6
33	32	uneq2i 3654	. . . . 5
34		simp3 998	. . . . . . 7
35	34	uneq1d 3656	. . . . . 6
36		uncom 3647	. . . . . . . . . 10
37		un0 3810	. . . . . . . . . 10
38	36, 37	eqtri 2486	. . . . . . . . 9
39	38	uneq2i 3654	. . . . . . . 8
40		resundi 5292	. . . . . . . . 9
41		incom 3690	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	uneq1i 3653	. . . . . . . . . . . 12
43		inundif 3906	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eqtri 2486	. . . . . . . . . . 11
45	44	reseq2i 5275	. . . . . . . . . 10
46		fnresdm 5695	. . . . . . . . . . . 12
47	2, 46	syl 16	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 466	. . . . . . . . . 10
49	45, 48	syl5eq 2510	. . . . . . . . 9
50	40, 49	syl5eqr 2512	. . . . . . . 8
51	39, 50	syl5eq 2510	. . . . . . 7
52	51	3adant3 1016	. . . . . 6
53	35, 52	eqtrd 2498	. . . . 5
54	33, 53	syl5eq 2510	. . . 4
55	12, 54	syl5eq 2510	. . 3
56	7, 55	syl5eq 2510	. 2
57	6, 56	eqtrd 2498	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  -->wf 5589

This theorem is referenced by:  fresaunres1  5763  mapunen  7706  ptuncnv  20308  cvmliftlem10  28739  elmapresaunres2  30705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-dm 5014  df-res 5016  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597