MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fresaunres2 Unicode version

Theorem fresaunres2 5762
Description: From the union of two functions that agree on the domain overlap, either component can be recovered by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fresaunres2

Proof of Theorem fresaunres2
StepHypRef Expression
1 ffn 5736 . . . 4
2 ffn 5736 . . . 4
3 id 22 . . . 4
4 resasplit 5760 . . . 4
51, 2, 3, 4syl3an 1270 . . 3
65reseq1d 5277 . 2
7 resundir 5293 . . 3
8 inss2 3718 . . . . . 6
9 resabs2 5309 . . . . . 6
108, 9ax-mp 5 . . . . 5
11 resundir 5293 . . . . 5
1210, 11uneq12i 3655 . . . 4
13 dmres 5299 . . . . . . . . 9
14 dmres 5299 . . . . . . . . . . 11
1514ineq2i 3696 . . . . . . . . . 10
16 disjdif 3900 . . . . . . . . . . . 12
1716ineq1i 3695 . . . . . . . . . . 11
18 inass 3707 . . . . . . . . . . 11
19 inss1 3717 . . . . . . . . . . . 12
20 0ss 3814 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20eqssi 3519 . . . . . . . . . . 11
2217, 18, 213eqtr3i 2494 . . . . . . . . . 10
2315, 22eqtri 2486 . . . . . . . . 9
2413, 23eqtri 2486 . . . . . . . 8
25 relres 5306 . . . . . . . . 9
26 reldm0 5225 . . . . . . . . 9
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8
2824, 27mpbir 209 . . . . . . 7
29 difss 3630 . . . . . . . 8
30 resabs2 5309 . . . . . . . 8
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7
3228, 31uneq12i 3655 . . . . . 6
3332uneq2i 3654 . . . . 5
34 simp3 998 . . . . . . 7
3534uneq1d 3656 . . . . . 6
36 uncom 3647 . . . . . . . . . 10
37 un0 3810 . . . . . . . . . 10
3836, 37eqtri 2486 . . . . . . . . 9
3938uneq2i 3654 . . . . . . . 8
40 resundi 5292 . . . . . . . . 9
41 incom 3690 . . . . . . . . . . . . 13
4241uneq1i 3653 . . . . . . . . . . . 12
43 inundif 3906 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
4544reseq2i 5275 . . . . . . . . . 10
46 fnresdm 5695 . . . . . . . . . . . 12
472, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10
4945, 48syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
5040, 49syl5eqr 2512 . . . . . . . 8
5139, 50syl5eq 2510 . . . . . . 7
52513adant3 1016 . . . . . 6
5335, 52eqtrd 2498 . . . . 5
5433, 53syl5eq 2510 . . . 4
5512, 54syl5eq 2510 . . 3
567, 55syl5eq 2510 . 2
576, 56eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  -->wf 5589
This theorem is referenced by:  fresaunres1  5763  mapunen  7706  ptuncnv  20308  cvmliftlem10  28739  elmapresaunres2  30705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-dm 5014  df-res 5016  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597
  Copyright terms: Public domain W3C validator