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Theorem frfi 7785
Description: A partial order is well-founded on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfi

Proof of Theorem frfi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poeq2 4809 . . . 4
2 freq2 4855 . . . 4
31, 2imbi12d 320 . . 3
4 poeq2 4809 . . . 4
5 freq2 4855 . . . 4
64, 5imbi12d 320 . . 3
7 poeq2 4809 . . . 4
8 freq2 4855 . . . 4
97, 8imbi12d 320 . . 3
10 poeq2 4809 . . . 4
11 freq2 4855 . . . 4
1210, 11imbi12d 320 . . 3
13 fr0 4863 . . . 4
1413a1i 11 . . 3
15 ssun1 3666 . . . . . . 7
16 poss 4807 . . . . . . 7
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6
1817imim1i 58 . . . . 5
19 uncom 3647 . . . . . . . . . . . 12
2019sseq2i 3528 . . . . . . . . . . 11
21 ssundif 3911 . . . . . . . . . . 11
2220, 21bitri 249 . . . . . . . . . 10
2322anbi1i 695 . . . . . . . . 9
24 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . 14
2524cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . 13
26 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
27 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 poss 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2928impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3022, 29sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3130ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
34 poirr 4816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35343ad2antr3 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36 nbrne2 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3733, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3932, 37, 38sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4031, 39sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47 fri 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4846, 47mpanl1 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49 ssrexv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5043, 48, 49mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5126, 27, 42, 50syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5352notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5539, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57 simplr2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
58 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
59 simplr1 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
60 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
62 potr 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6358, 59, 60, 61, 62syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6457, 63mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6564con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
67 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6867notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6966, 68ralsn 4068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7065, 69syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7156, 70syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72 ralun 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7471, 73sylcom 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75 difsnid 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7675raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7760, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7874, 77sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7978reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8031, 79sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8151, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
82813exp2 1214 . . . . . . . . . . . . . 14
8382rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . . . 13
8425, 83syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12
85 ralnex 2903 . . . . . . . . . . . . 13
86 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8786notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . 14
9089expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13
9185, 90sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12
9284, 91pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . 11
93 difsn 4164 . . . . . . . . . . . 12
9450expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
96 raleq 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9796rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9895, 97imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9994, 98syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14
101100adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13
102101impr 619 . . . . . . . . . . . 12
10393, 102syl5 32 . . . . . . . . . . 11
10492, 103pm2.61d 158 . . . . . . . . . 10
105104ex 434 . . . . . . . . 9
10623, 105syl5bi 217 . . . . . . . 8
107106alrimiv 1719 . . . . . . 7
108 df-fr 4843 . . . . . . 7
109107, 108sylibr 212 . . . . . 6
110109ex 434 . . . . 5
11118, 110sylcom 29 . . . 4
112111a1i 11 . . 3
1133, 6, 9, 12, 14, 112findcard2 7780 . 2
114113impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  Powpo 4803  Frwfr 4840   cfn 7536
This theorem is referenced by:  fimax2g  7786  wofi  7789  isfin1-3  8787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540
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