MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frsuc Unicode version

Theorem frsuc 7121
Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frsuc

Proof of Theorem frsuc
StepHypRef Expression
1 rdgdmlim 7102 . . . . 5
2 limomss 6705 . . . . 5
31, 2ax-mp 5 . . . 4
43sseli 3499 . . 3
5 rdgsucg 7108 . . 3
64, 5syl 16 . 2
7 peano2b 6716 . . 3
8 fvres 5885 . . 3
97, 8sylbi 195 . 2
10 fvres 5885 . . 3
1110fveq2d 5875 . 2
126, 9, 113eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  |`cres 5006  `cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094
This theorem is referenced by:  frsucmpt  7122  frsucmptn  7123  seqomlem1  7134  seqomlem4  7137  onasuc  7197  onmsuc  7198  onesuc  7199  inf3lemc  8064  alephfplem2  8507  ackbij2lem2  8641  infpssrlem2  8705  fin23lem34  8747  fin23lem35  8748  itunisuc  8820  om2uzrdg  12067  uzrdgsuci  12071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
  Copyright terms: Public domain W3C validator