MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frsucmptn Unicode version

Theorem frsucmptn 7123
Description: The value of the finite recursive definition generator at a successor (special case where the characteristic function is a mapping abstraction and where the mapping class is a proper class). This is a technical lemma that can be used together with frsucmpt 7122 to help eliminate redundant sethood antecedents. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frsucmpt.1
frsucmpt.2
frsucmpt.3
frsucmpt.4
frsucmpt.5
Assertion
Ref Expression
frsucmptn

Proof of Theorem frsucmptn
StepHypRef Expression
1 frsucmpt.4 . . 3
21fveq1i 5872 . 2
3 frfnom 7119 . . . . . 6
4 fndm 5685 . . . . . 6
53, 4ax-mp 5 . . . . 5
65eleq2i 2535 . . . 4
7 peano2b 6716 . . . . 5
8 frsuc 7121 . . . . . . . 8
91fveq1i 5872 . . . . . . . . 9
109fveq2i 5874 . . . . . . . 8
118, 10syl6eqr 2516 . . . . . . 7
12 nfmpt1 4541 . . . . . . . . . . . 12
13 frsucmpt.1 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13nfrdg 7099 . . . . . . . . . . 11
15 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
1614, 15nfres 5280 . . . . . . . . . 10
171, 16nfcxfr 2617 . . . . . . . . 9
18 frsucmpt.2 . . . . . . . . 9
1917, 18nffv 5878 . . . . . . . 8
20 frsucmpt.3 . . . . . . . 8
21 frsucmpt.5 . . . . . . . 8
22 eqid 2457 . . . . . . . 8
2319, 20, 21, 22fvmptnf 5973 . . . . . . 7
2411, 23sylan9eqr 2520 . . . . . 6
2524ex 434 . . . . 5
267, 25syl5bir 218 . . . 4
276, 26syl5bi 217 . . 3
28 ndmfv 5895 . . 3
2927, 28pm2.61d1 159 . 2
302, 29syl5eq 2510 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  F/_wnfc 2605   cvv 3109   c0 3784  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  |`cres 5006  Fnwfn 5588  `cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094
This theorem is referenced by:  trpredlem1  29310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
  Copyright terms: Public domain W3C validator