Theorem fseq1p1m1 11781

Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fseq1p1m1.1

Assertion

Ref	Expression
fseq1p1m1

Proof of Theorem fseq1p1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1002	. . . . . 6
2		nn0p1nn 10860	. . . . . . . . 9
3	2	adantr 465	. . . . . . . 8
4		simpr2 1003	. . . . . . . 8
5		fseq1p1m1.1	. . . . . . . . 9
6		fsng 6070	. . . . . . . . 9
7	5, 6	mpbiri 233	. . . . . . . 8
8	3, 4, 7	syl2anc 661	. . . . . . 7
9	4	snssd 4175	. . . . . . 7
10	8, 9	fssd 5745	. . . . . 6
11		fzp1disj 11767	. . . . . . 7
12	11	a1i 11	. . . . . 6
13		fun2 5754	. . . . . 6
14	1, 10, 12, 13	syl21anc 1227	. . . . 5
15		1z 10919	. . . . . . . 8
16		simpl 457	. . . . . . . . 9
17		nn0uz 11144	. . . . . . . . . 10
18		1m1e0 10629	. . . . . . . . . . 11
19	18	fveq2i 5874	. . . . . . . . . 10
20	17, 19	eqtr4i 2489	. . . . . . . . 9
21	16, 20	syl6eleq 2555	. . . . . . . 8
22		fzsuc2 11766	. . . . . . . 8
23	15, 21, 22	sylancr 663	. . . . . . 7
24	23	eqcomd 2465	. . . . . 6
25	24	feq2d 5723	. . . . 5
26	14, 25	mpbid 210	. . . 4
27		simpr3 1004	. . . . 5
28	27	feq1d 5722	. . . 4
29	26, 28	mpbird 232	. . 3
30		ovex 6324	. . . . . 6
31	30	snid 4057	. . . . 5
32		fvres 5885	. . . . 5
33	31, 32	ax-mp 5	. . . 4
34	27	reseq1d 5277	. . . . . . 7
35		ffn 5736	. . . . . . . . . . 11
36		fnresdisj 5696	. . . . . . . . . . 11
37	1, 35, 36	3syl 20	. . . . . . . . . 10
38	12, 37	mpbid 210	. . . . . . . . 9
39	38	uneq1d 3656	. . . . . . . 8
40		resundir 5293	. . . . . . . 8
41		uncom 3647	. . . . . . . . 9
42		un0 3810	. . . . . . . . 9
43	41, 42	eqtr2i 2487	. . . . . . . 8
44	39, 40, 43	3eqtr4g 2523	. . . . . . 7
45		ffn 5736	. . . . . . . 8
46		fnresdm 5695	. . . . . . . 8
47	10, 45, 46	3syl 20	. . . . . . 7
48	34, 44, 47	3eqtrd 2502	. . . . . 6
49	48	fveq1d 5873	. . . . 5
50	5	fveq1i 5872	. . . . . . 7
51		fvsng 6105	. . . . . . 7
52	50, 51	syl5eq 2510	. . . . . 6
53	3, 4, 52	syl2anc 661	. . . . 5
54	49, 53	eqtrd 2498	. . . 4
55	33, 54	syl5eqr 2512	. . 3
56	27	reseq1d 5277	. . . 4
57		incom 3690	. . . . . . . 8
58	57, 12	syl5eq 2510	. . . . . . 7
59		ffn 5736	. . . . . . . 8
60		fnresdisj 5696	. . . . . . . 8
61	8, 59, 60	3syl 20	. . . . . . 7
62	58, 61	mpbid 210	. . . . . 6
63	62	uneq2d 3657	. . . . 5
64		resundir 5293	. . . . 5
65		un0 3810	. . . . . 6
66	65	eqcomi 2470	. . . . 5
67	63, 64, 66	3eqtr4g 2523	. . . 4
68		fnresdm 5695	. . . . 5
69	1, 35, 68	3syl 20	. . . 4
70	56, 67, 69	3eqtrrd 2503	. . 3
71	29, 55, 70	3jca 1176	. 2
72		simpr1 1002	. . . . 5
73		fzssp1 11755	. . . . 5
74		fssres 5756	. . . . 5
75	72, 73, 74	sylancl 662	. . . 4
76		simpr3 1004	. . . . 5
77	76	feq1d 5722	. . . 4
78	75, 77	mpbird 232	. . 3
79		simpr2 1003	. . . 4
80	2	adantr 465	. . . . . . 7
81		nnuz 11145	. . . . . . 7
82	80, 81	syl6eleq 2555	. . . . . 6
83		eluzfz2 11723	. . . . . 6
84	82, 83	syl 16	. . . . 5
85	72, 84	ffvelrnd 6032	. . . 4
86	79, 85	eqeltrrd 2546	. . 3
87		ffn 5736	. . . . . . . . 9
88	72, 87	syl 16	. . . . . . . 8
89		fnressn 6083	. . . . . . . 8
90	88, 84, 89	syl2anc 661	. . . . . . 7
91		opeq2 4218	. . . . . . . . 9
92	91	sneqd 4041	. . . . . . . 8
93	79, 92	syl 16	. . . . . . 7
94	90, 93	eqtrd 2498	. . . . . 6
95	94, 5	syl6reqr 2517	. . . . 5
96	76, 95	uneq12d 3658	. . . 4
97		simpl 457	. . . . . . . 8
98	97, 20	syl6eleq 2555	. . . . . . 7
99	15, 98, 22	sylancr 663	. . . . . 6
100	99	reseq2d 5278	. . . . 5
101		resundi 5292	. . . . 5
102	100, 101	syl6req 2515	. . . 4
103		fnresdm 5695	. . . . 5
104	72, 87, 103	3syl 20	. . . 4
105	96, 102, 104	3eqtrrd 2503	. . 3
106	78, 86, 105	3jca 1176	. 2
107	71, 106	impbida 832	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmin 9828  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701

This theorem is referenced by:  fseq1m1p1  11782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702