MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseq1p1m1 Unicode version

Theorem fseq1p1m1 11781
Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fseq1p1m1.1
Assertion
Ref Expression
fseq1p1m1

Proof of Theorem fseq1p1m1
StepHypRef Expression
1 simpr1 1002 . . . . . 6
2 nn0p1nn 10860 . . . . . . . . 9
32adantr 465 . . . . . . . 8
4 simpr2 1003 . . . . . . . 8
5 fseq1p1m1.1 . . . . . . . . 9
6 fsng 6070 . . . . . . . . 9
75, 6mpbiri 233 . . . . . . . 8
83, 4, 7syl2anc 661 . . . . . . 7
94snssd 4175 . . . . . . 7
108, 9fssd 5745 . . . . . 6
11 fzp1disj 11767 . . . . . . 7
1211a1i 11 . . . . . 6
13 fun2 5754 . . . . . 6
141, 10, 12, 13syl21anc 1227 . . . . 5
15 1z 10919 . . . . . . . 8
16 simpl 457 . . . . . . . . 9
17 nn0uz 11144 . . . . . . . . . 10
18 1m1e0 10629 . . . . . . . . . . 11
1918fveq2i 5874 . . . . . . . . . 10
2017, 19eqtr4i 2489 . . . . . . . . 9
2116, 20syl6eleq 2555 . . . . . . . 8
22 fzsuc2 11766 . . . . . . . 8
2315, 21, 22sylancr 663 . . . . . . 7
2423eqcomd 2465 . . . . . 6
2524feq2d 5723 . . . . 5
2614, 25mpbid 210 . . . 4
27 simpr3 1004 . . . . 5
2827feq1d 5722 . . . 4
2926, 28mpbird 232 . . 3
30 ovex 6324 . . . . . 6
3130snid 4057 . . . . 5
32 fvres 5885 . . . . 5
3331, 32ax-mp 5 . . . 4
3427reseq1d 5277 . . . . . . 7
35 ffn 5736 . . . . . . . . . . 11
36 fnresdisj 5696 . . . . . . . . . . 11
371, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . 10
3812, 37mpbid 210 . . . . . . . . 9
3938uneq1d 3656 . . . . . . . 8
40 resundir 5293 . . . . . . . 8
41 uncom 3647 . . . . . . . . 9
42 un0 3810 . . . . . . . . 9
4341, 42eqtr2i 2487 . . . . . . . 8
4439, 40, 433eqtr4g 2523 . . . . . . 7
45 ffn 5736 . . . . . . . 8
46 fnresdm 5695 . . . . . . . 8
4710, 45, 463syl 20 . . . . . . 7
4834, 44, 473eqtrd 2502 . . . . . 6
4948fveq1d 5873 . . . . 5
505fveq1i 5872 . . . . . . 7
51 fvsng 6105 . . . . . . 7
5250, 51syl5eq 2510 . . . . . 6
533, 4, 52syl2anc 661 . . . . 5
5449, 53eqtrd 2498 . . . 4
5533, 54syl5eqr 2512 . . 3
5627reseq1d 5277 . . . 4
57 incom 3690 . . . . . . . 8
5857, 12syl5eq 2510 . . . . . . 7
59 ffn 5736 . . . . . . . 8
60 fnresdisj 5696 . . . . . . . 8
618, 59, 603syl 20 . . . . . . 7
6258, 61mpbid 210 . . . . . 6
6362uneq2d 3657 . . . . 5
64 resundir 5293 . . . . 5
65 un0 3810 . . . . . 6
6665eqcomi 2470 . . . . 5
6763, 64, 663eqtr4g 2523 . . . 4
68 fnresdm 5695 . . . . 5
691, 35, 683syl 20 . . . 4
7056, 67, 693eqtrrd 2503 . . 3
7129, 55, 703jca 1176 . 2
72 simpr1 1002 . . . . 5
73 fzssp1 11755 . . . . 5
74 fssres 5756 . . . . 5
7572, 73, 74sylancl 662 . . . 4
76 simpr3 1004 . . . . 5
7776feq1d 5722 . . . 4
7875, 77mpbird 232 . . 3
79 simpr2 1003 . . . 4
802adantr 465 . . . . . . 7
81 nnuz 11145 . . . . . . 7
8280, 81syl6eleq 2555 . . . . . 6
83 eluzfz2 11723 . . . . . 6
8482, 83syl 16 . . . . 5
8572, 84ffvelrnd 6032 . . . 4
8679, 85eqeltrrd 2546 . . 3
87 ffn 5736 . . . . . . . . 9
8872, 87syl 16 . . . . . . . 8
89 fnressn 6083 . . . . . . . 8
9088, 84, 89syl2anc 661 . . . . . . 7
91 opeq2 4218 . . . . . . . . 9
9291sneqd 4041 . . . . . . . 8
9379, 92syl 16 . . . . . . 7
9490, 93eqtrd 2498 . . . . . 6
9594, 5syl6reqr 2517 . . . . 5
9676, 95uneq12d 3658 . . . 4
97 simpl 457 . . . . . . . 8
9897, 20syl6eleq 2555 . . . . . . 7
9915, 98, 22sylancr 663 . . . . . 6
10099reseq2d 5278 . . . . 5
101 resundi 5292 . . . . 5
102100, 101syl6req 2515 . . . 4
103 fnresdm 5695 . . . . 5
10472, 87, 1033syl 20 . . . 4
10596, 102, 1043eqtrrd 2503 . . 3
10678, 86, 1053jca 1176 . 2
10771, 106impbida 832 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701
This theorem is referenced by:  fseq1m1p1  11782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator